Cálculo Ejemplos

$16 x + \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

Paso 1

Escribe $16 x + \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ como una función.

$f (x) = 16 x + \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 16 x + \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 16 x d x + \int \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Paso 5

Dado que $16$ es constante con respecto a $x$ , mueve $16$ fuera de la integral.

$16 \int x d x + \int \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Paso 7

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 5 \int \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Paso 8

Sea $u = 9 - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = 9 - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Paso 8.1.2

Diferencia.

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Paso 8.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 8.1.2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 8.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 8.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 8.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 8.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 8.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$16 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Paso 9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 9.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 9.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Paso 11

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 5 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 5 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 13

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1

Simplifica.

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Paso 13.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 5$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{- 5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 13.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 13.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 13.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 13.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 13.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 13.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 13.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 13.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{5}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica.

$8 x^{2} - \frac{5}{2} (2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 15.2

Simplifica.

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Paso 15.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$8 x^{2} - 2 (\frac{5}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 15.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{5}{2}$ .

$8 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 5}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 15.2.3

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$8 x^{2} + \frac{- 10}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 15.2.4

Combina $\frac{- 10}{2}$ y $u^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{2} + \frac{- 10 u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Paso 15.2.5

Factoriza $2$ de $- 10 u^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Paso 15.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.2.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$8 x^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + C$

Paso 15.2.6.2

Cancela el factor común.

$8 x^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + C$

Paso 15.2.6.3

Reescribe la expresión.

$8 x^{2} + \frac{- 5 u^{\frac{1}{2}}}{1} + C$

Paso 15.2.6.4

Divide $- 5 u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$8 x^{2} - 5 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 - x^{2}$ .

$8 x^{2} - 5 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 17

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 16 x + \frac{5 x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $8 x^{2} - 5 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$