Cálculo Ejemplos

$\frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

Paso 1

Escribe $\frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ como una función.

$f (u) = \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

Paso 2

La función $F (u)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (u)$ .

$F (u) = \int f (u) d u$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (u) = \int \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 - u^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{u}} d u$

Paso 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 - u^{\frac{1}{2}}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 6

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 7

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 8.2

Multiplica $u^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 8.3

Factoriza el negativo.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - (u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}}) d u$

Paso 8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} d u$

Paso 8.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1 - 1}{2}} d u$

Paso 8.6

Resta $1$ de $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{0}{2}} d u$

Paso 8.7

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 8.7.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 (0)}{2}} d u$

Paso 8.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d u$

Paso 8.7.2.2

Cancela el factor común.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d u$

Paso 8.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{0}{1}} d u$

Paso 8.7.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{0} d u$

Paso 8.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 d u$

Paso 8.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - 1 d u$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - 1 d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - 1 d u$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C - u + C$

Paso 12

Simplifica.

$2 u^{\frac{1}{2}} - u + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (u) = \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ .

$F (u) =$ $2 u^{\frac{1}{2}} - u + C$