Cálculo Ejemplos

$\sqrt{2 - x^{2}}$

Paso 1

Escribe $\sqrt{2 - x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{2 - x^{2}} d x$

Paso 4

Sea $x = \sqrt{2} \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sqrt{2} \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{2} \cos (t)$ es positiva.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Simplifica $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 5.1.1

Aplica la regla del producto a $\sqrt{2} \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Paso 5.1.2

Multiplica por $1$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Paso 5.1.3

Factoriza ${\sqrt{2}}^{2}$ de $- ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Paso 5.1.4

Factoriza ${\sqrt{2}}^{2}$ de ${\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Paso 5.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Paso 5.1.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Paso 5.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Paso 5.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Paso 5.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Paso 5.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \sqrt{2^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Paso 5.1.6.5

Evalúa el exponente.

$\int \sqrt{2 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{2 \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Paso 5.1.7

Reordena $2$ y $\cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Paso 5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$\int \cos (t) \sqrt{2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Paso 5.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Paso 5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Paso 5.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Paso 5.2.5

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) d t$

Paso 5.2.6

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) d t$

Paso 5.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{1 + 1} d t$

Paso 5.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{2} d t$

Paso 5.2.9

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.2.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \cos^{2} (t) {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Paso 5.2.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Paso 5.2.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

Paso 5.2.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.9.4.1

Cancela el factor común.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

Paso 5.2.9.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{1} d t$

Paso 5.2.9.5

Evalúa el exponente.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2 d t$

Paso 5.2.10

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos^{2} (t)$ .

$\int 2 \cos^{2} (t) d t$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \cos^{2} (t) d t$

Paso 7

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$2 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 9.3

Multiplica $\int 1 + \cos (2 t) d t$ por $1$ .

$\int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d t + \int \cos (2 t) d t$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$t + C + \int \cos (2 t) d t$

Paso 12

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 12.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 12.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 12.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 12.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 12.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 13

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Paso 14

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Paso 15

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Paso 16

Simplifica.

$t + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Paso 17

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 17.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Paso 17.2

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t) + C$

Paso 17.3

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Paso 18.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 18.2.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Paso 18.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Paso 18.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Paso 18.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Paso 18.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Paso 18.2.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 18.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Paso 18.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Paso 18.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Paso 18.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Paso 18.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Paso 18.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Paso 18.3

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})) + C$

Paso 18.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 18.4.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})) + C$

Paso 18.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})) + C$

Paso 18.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})) + C$

Paso 18.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})) + C$

Paso 18.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})) + C$

Paso 18.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 18.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})) + C$

Paso 18.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})) + C$

Paso 18.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

Paso 18.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

Paso 18.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}})) + C$

Paso 18.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})) + C$

Paso 18.5

Reordena los términos.

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$

Paso 19

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$