Cálculo Ejemplos

${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Paso 1

Escribe ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ como una función.

$f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(1 + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ como $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ .

$\int (1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x}) d x$

Paso 4.2

Expande $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 (1 + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.1.4

Multiplica $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Paso 4.3.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Paso 4.3.1.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Paso 4.3.1.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Paso 4.3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Paso 4.3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.3.2

Suma $\frac{1}{x}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.4

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$x + C + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 9

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 9.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 9.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 9.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 9.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- 2} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) - x^{- 1} + C$

Paso 11

Simplifica.

$x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$