Cálculo Ejemplos

$\frac{20}{6 + 2 t}$

Paso 1

Escribe $\frac{20}{6 + 2 t}$ como una función.

$f (t) = \frac{20}{6 + 2 t}$

Paso 2

La función $F (t)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (t) = \int \frac{20}{6 + 2 t} d t$

Paso 4

Cancela el factor común de $20$ y $6 + 2 t$ .

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Paso 4.1

Factoriza $2$ de $20$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{6 + 2 t} d t$

Paso 4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3) + 2 t} d t$

Paso 4.2.2

Factoriza $2$ de $2 t$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3) + 2 (t)} d t$

Paso 4.2.3

Factoriza $2$ de $2 (3) + 2 (t)$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3 + t)} d t$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común.

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3 + t)} d t$

Paso 4.2.5

Reescribe la expresión.

$\int \frac{10}{3 + t} d t$

Paso 5

Dado que $10$ es constante con respecto a $t$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$10 \int \frac{1}{3 + t} d t$

Paso 6

Sea $u = 3 + t$ . Entonces $d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = 3 + t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $3 + t$ .

$\frac{d}{d t} [3 + t]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 6.1.3

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Paso 6.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 6.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$10 (\ln (| u |) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$10 \ln (| u |) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + t$ .

$10 \ln (| 3 + t |) + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (t) = \frac{20}{6 + 2 t}$ .

$F (t) =$ $10 \ln (| 3 + t |) + C$