Cálculo Ejemplos

$6 x e^{3 x^{2}}$

Paso 1

Escribe $6 x e^{3 x^{2}}$ como una función.

$f (x) = 6 x e^{3 x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 6 x e^{3 x^{2}} d x$

Paso 4

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int x e^{3 x^{2}} d x$

Paso 5

Sea $u_{2} = e^{3 x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = 6 x e^{3 x^{2}} d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u_{2} = x e^{3 x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = e^{3 x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Paso 5.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 5.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x^{2}$ .

$e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 5.1.3

Diferencia.

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Paso 5.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{3 x^{2}} (3 (2 x))$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$e^{3 x^{2}} (6 x)$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Reordena los factores de $e^{3 x^{2}} (6 x)$ .

$6 e^{3 x^{2}} x$

Paso 5.1.4.2

Reordena los factores en $6 e^{3 x^{2}} x$ .

$6 x e^{3 x^{2}}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$6 \int \frac{1}{6} d u_{2}$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$6 (\frac{1}{6} u_{2} + C)$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Reescribe $6 (\frac{1}{6} u_{2} + C)$ como $6 (\frac{1}{6}) u_{2} + C$ .

$6 (\frac{1}{6}) u_{2} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} u_{2} + C$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{6} u_{2} + C$

Paso 7.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 u_{2} + C$

Paso 7.2.3

Multiplica $u_{2}$ por $1$ .

$u_{2} + C$

Paso 7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{3 x^{2}}$ .

$e^{3 x^{2}} + C$

Paso 8

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 6 x e^{3 x^{2}}$ .

$F (x) =$ $e^{3 x^{2}} + C$