Cálculo Ejemplos

$\frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

Paso 1

Escribe $\frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ como una función.

$f (t) = \frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

Paso 2

La función $F (t)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (t) = \int \frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}} d t$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{6 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Paso 5

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (6 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Paso 6

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (6 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int (6 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (6 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 7

Expande $(6 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (6 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 7.3

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 7.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 7.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 7.7

Resta $1$ de $2$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 7.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Paso 7.9

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Paso 7.10

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Paso 7.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Paso 7.12

Simplifica el numerador.

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Paso 7.12.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Paso 7.12.2

Resta $1$ de $4$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 9

Dado que $6$ es constante con respecto a $t$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$6 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

$12 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 13.2

Reordena los términos.

$12 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (t) = \frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ .

$F (t) =$ $12 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$