Cálculo Ejemplos

$y = 9 - x$ , $y = 3 x - 3$ , $x = 0$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = - x + 9$ y $g (x) = 3 x - 3$

Paso 2

Simplifica el integrando.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(- x + 9)}^{2}$ como $(- x + 9) (- x + 9)$ .

$V = (- x + 9) (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 2.1.2

Expande $(- x + 9) (- x + 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$V = - x (- x + 9) + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$V = - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 2.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 2.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$V = 1 x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 2.1.3.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$V = x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 2.1.3.1.5

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$V = x^{2} - 9 x + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 2.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 2.1.3.1.7

Multiplica $9$ por $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 2.1.3.2

Resta $9 x$ de $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

Paso 2.1.4

Reescribe ${(3 x - 3)}^{2}$ como $(3 x - 3) (3 x - 3)$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - ((3 x - 3) (3 x - 3))$

Paso 2.1.5

Expande $(3 x - 3) (3 x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x - 3) - 3 (3 x - 3))$

Paso 2.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x - 3))$

Paso 2.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Paso 2.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Paso 2.1.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.6.1.2.1

Mueve $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Paso 2.1.6.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Paso 2.1.6.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Paso 2.1.6.1.4

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Paso 2.1.6.1.5

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x - 3 \cdot - 3)$

Paso 2.1.6.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x + 9)$

Paso 2.1.6.2

Resta $9 x$ de $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 18 x + 9)$

Paso 2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2}) - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

Paso 2.1.8

Simplifica.

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Paso 2.1.8.1

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

Paso 2.1.8.2

Multiplica $- 18$ por $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 1 \cdot 9$

Paso 2.1.8.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$ .

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Paso 2.2.1.1

Suma $- 18 x$ y $18 x$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} + 0 - 9$

Paso 2.2.1.2

Suma $x^{2} + 81 - 9 x^{2}$ y $0$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} - 9$

Paso 2.2.2

Resta $9 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$V = - 8 x^{2} + 81 - 9$

Paso 2.2.3

Resta $9$ de $81$ .

$V = - 8 x^{2} + 72$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$V = π (\int_{0}^{3} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Paso 4

Dado que $- 8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 8$ fuera de la integral.

$V = π (- 8 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Paso 6

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $3$ y en $0$ .

$V = π (- 8 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

Paso 8.2

Evalúa $72 x$ en $3$ y en $0$ .

$V = π (- 8 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$V = π (- 8 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (- 8 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.2.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.4

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 8.3.4.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (- 8 (9 - 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (- 8 (9 + 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.6

Suma $9$ y $0$ .

$V = π (- 8 \cdot 9 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.7

Multiplica $- 8$ por $9$ .

$V = π (- 72 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.8

Multiplica $72$ por $3$ .

$V = π (- 72 + 216 - 72 \cdot 0)$

Paso 8.3.9

Multiplica $- 72$ por $0$ .

$V = π (- 72 + 216 + 0)$

Paso 8.3.10

Suma $216$ y $0$ .

$V = π (- 72 + 216)$

Paso 8.3.11

Suma $- 72$ y $216$ .

$V = π \cdot 144$

Paso 8.3.12

Mueve $144$ a la izquierda de $π$ .

$V = 144 π$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = 144 π$

Forma decimal:

$V = 452.38934211 \dots$

Paso 10