Cálculo Ejemplos

$y = 4 x$ , $y = 4$ , $x = 0$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = 4$ y $g (x) = 4 x$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$V = 16 - {(4 x)}^{2}$

Paso 2.2

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$V = 16 - (4^{2} x^{2})$

Paso 2.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$V = 16 - (16 x^{2})$

Paso 2.4

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$V = 16 - 16 x^{2}$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$V = π (\int_{0}^{1} 16 d x + \int_{0}^{1} - 16 x^{2} d x)$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$V = π (16 x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 16 x^{2} d x)$

Paso 5

Dado que $- 16$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 16$ fuera de la integral.

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $16 x$ en $1$ y en $0$ .

$V = π ((16 \cdot 1) - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$V = π (16 \cdot 1 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $16$ por $1$ .

$V = π (16 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $- 16$ por $0$ .

$V = π (16 + 0 - 16 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 7.2.3.3

Suma $16$ y $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 7.2.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 7.2.3.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Paso 7.2.3.6

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 7.2.3.6.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Paso 7.2.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 7.2.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 7.2.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Paso 7.2.3.6.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} - 0))$

Paso 7.2.3.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3} + 0))$

Paso 7.2.3.8

Suma $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{3}))$

Paso 7.2.3.9

Combina $- 16$ y $\frac{1}{3}$ .

$V = π (16 + \frac{- 16}{3})$

Paso 7.2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V = π (16 - \frac{16}{3})$

Paso 7.2.3.11

Para escribir $16$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Paso 7.2.3.12

Combina $16$ y $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Paso 7.2.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{16 \cdot 3 - 16}{3})$

Paso 7.2.3.14

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.14.1

Multiplica $16$ por $3$ .

$V = π (\frac{48 - 16}{3})$

Paso 7.2.3.14.2

Resta $16$ de $48$ .

$V = π (\frac{32}{3})$

Paso 7.2.3.15

Combina $π$ y $\frac{32}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 32}{3}$

Paso 7.2.3.16

Mueve $32$ a la izquierda de $π$ .

$V = \frac{32 π}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{32 π}{3}$

Forma decimal:

$V = 33.51032163 \dots$

Paso 9