Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2}}{4}$ , $x = 3$ , $y = 0$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = \frac{x^{2}}{4}$

Paso 2

Simplifica el integrando.

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x^{2}}{4}$ .

$V = \frac{{(x^{2})}^{2}}{4^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \frac{x^{2 \cdot 2}}{4^{2}}$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{4^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{16}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{16}$ fuera de la integral.

$V = π (\frac{1}{16} \cdot \int_{0}^{3} x^{4} d x)$

Paso 4

Combina $\frac{1}{16}$ y $π$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot \int_{0}^{3} x^{4} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{1}{5} x^{5}$ en $3$ y en $0$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot ((\frac{1}{5} \cdot 3^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{1}{5} \cdot 243 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Paso 6.2.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $243$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Paso 6.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0)$

Paso 6.2.4

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} + 0 (\frac{1}{5}))$

Paso 6.2.5

Multiplica $0$ por $\frac{1}{5}$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} + 0)$

Paso 6.2.6

Suma $\frac{243}{5}$ y $0$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot \frac{243}{5}$

Paso 6.2.7

Multiplica $\frac{π}{16}$ por $\frac{243}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 243}{16 \cdot 5}$

Paso 6.2.8

Multiplica $16$ por $5$ .

$V = \frac{π \cdot 243}{80}$

Paso 6.2.9

Mueve $243$ a la izquierda de $π$ .

$V = \frac{243 π}{80}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{243 π}{80}$

Forma decimal:

$V = 9.54258768 \dots$

Paso 8