Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (6 t)}{\sin (2 t)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} \tan (6 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan (lim_{t \to 0} 6 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{\tan (6 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{\tan (6 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Paso 1.2.3.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{t \to 0} t)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (6 t)}{\sin (2 t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (6 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (6 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \tan (t)$ y $g (t) = 6 t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [6 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [6 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (6 t) \frac{d}{d t} [6 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Paso 3.3

Como $6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $6 t$ con respecto a $t$ es $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (6 t) (6 \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (6 t) (6 \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Paso 3.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (6 t) \cdot 6}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Paso 3.6

Mueve $6$ a la izquierda de $\sec^{2} (6 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \cdot \sec^{2} (6 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Paso 3.7

Multiplica $6$ por $\sec^{2} (6 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = 2 t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]}$

Paso 3.8.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]}$

Paso 3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]}$

Paso 3.9

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])}$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t) (2 \cdot 1)}$

Paso 3.11

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t) \cdot 2}$

Paso 3.12

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{2 \cdot \cos (2 t)}$

Paso 3.13

Multiplica $2$ por $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{6 \sec^{2} (6 t)}{2 \cos (2 t)}$

Paso 4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Factoriza $2$ de $6 \sec^{2} (6 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (3 \sec^{2} (6 t))}{2 \cos (2 t)}$

Paso 4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (3 \sec^{2} (6 t))}{2 (\cos (2 t))}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (3 \sec^{2} (6 t))}{2 \cos (2 t)}$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{t \to 0} \frac{3 \sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t)}$

Paso 5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$3 lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (6 t)}{\cos (2 t)}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$3 \frac{lim_{t \to 0} \sec^{2} (6 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Paso 7

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (6 t)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$3 \frac{{(lim_{t \to 0} \sec (6 t))}^{2}}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Paso 8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$3 \frac{\sec^{2} (lim_{t \to 0} 6 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Paso 9

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$3 \frac{\sec^{2} (6 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Paso 10

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$3 \frac{\sec^{2} (6 lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Paso 11

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$3 \frac{\sec^{2} (6 lim_{t \to 0} t)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$3 \frac{\sec^{2} (6 \cdot 0)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$3 \frac{\sec^{2} (6 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$3 \frac{\sec^{2} (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 13.1.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$3 \frac{1^{2}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 13.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$3 \frac{1}{\cos (0)}$

Paso 13.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$3 (\frac{1}{1})$

Paso 13.3

Cancela el factor común de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.3.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{1}{1})$

Paso 13.3.2

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 1$

Paso 13.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$