Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\log (x)}{7 x^{2} + 5 x - 12}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \log (x)}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\log (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\log (1)}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Paso 1.2.3

El logaritmo en base $10$ de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 12}$

Paso 1.3.2

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{7 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 12}$

Paso 1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 12}$

Paso 1.3.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 12}$

Paso 1.3.5

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 12}$

Paso 1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 1^{2} + 5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 12}$

Paso 1.3.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 1 \cdot 12}$

Paso 1.3.7

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{7 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 1 \cdot 12}$

Paso 1.3.7.1.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{0}{7 + 5 \cdot 1 - 1 \cdot 12}$

Paso 1.3.7.1.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{0}{7 + 5 - 1 \cdot 12}$

Paso 1.3.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$\frac{0}{7 + 5 - 12}$

Paso 1.3.7.2

Suma $7$ y $5$ .

$\frac{0}{12 - 12}$

Paso 1.3.7.3

Resta $12$ de $12$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.7.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\log (x)}{7 x^{2} + 5 x - 12} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x - 12]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x - 12]}$

Paso 3.2

La derivada de $\log (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x - 12]}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 5 x - 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{7 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $7$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Paso 3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Paso 3.5.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Paso 3.6

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 + 0}$

Paso 3.7

Suma $14 x + 5$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{14 x + 5}$

Paso 5

Multiplica $\frac{1}{x \ln (10)}$ por $\frac{1}{14 x + 5}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (10) (14 x + 5)}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{1}{\ln (10)}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} lim_{x \to 1} \frac{1}{x (14 x + 5)}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (14 x + 5)}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x (14 x + 5)}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} 14 x + 5}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (lim_{x \to 1} 14 x + lim_{x \to 1} 5)}$

Paso 11

Mueve el término $14$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (14 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 5)}$

Paso 12

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (14 lim_{x \to 1} x + 5)}$

Paso 13

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{1 \cdot (14 lim_{x \to 1} x + 5)}$

Paso 13.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{1 \cdot (14 \cdot 1 + 5)}$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Cancela el factor común de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{1 \cdot (14 \cdot 1 + 5)}$

Paso 14.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{14 \cdot 1 + 5}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Multiplica $14$ por $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{14 + 5}$

Paso 14.2.2

Suma $14$ y $5$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{19}$

Paso 14.3

Multiplica $\frac{1}{\ln (10)}$ por $\frac{1}{19}$ .

$\frac{1}{\ln (10) \cdot 19}$

Paso 14.4

Mueve $19$ a la izquierda de $\ln (10)$ .

$\frac{1}{19 \ln (10)}$