Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{7 - e^{x}}{7 + 8 e^{x}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 - e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Paso 1.2.1.2

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{7 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Paso 1.2.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{7 - \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Una constante no nula veces infinito es infinita.

$\frac{7 + - \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Paso 1.2.3.2

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} 8 e^{x}}$

Paso 1.3.1.2

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{- \infty}{7 + lim_{x \to \infty} 8 e^{x}}$

Paso 1.3.2

Como la función $e^{x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $8$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 1.3.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $8$ eliminado.

$\frac{- \infty}{7 + lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Paso 1.3.2.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{- \infty}{7 + \infty}$

Paso 1.3.3

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 1.3.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 - e^{x}}{7 + 8 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 - e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Paso 3.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - e^{x}}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Paso 3.5

Resta $e^{x}$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $7 + 8 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]}$

Paso 3.7

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]}$

Paso 3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Paso 3.8.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 e^{x}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 8 e^{x}}$

Paso 3.9

Suma $0$ y $8 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{8 e^{x}}$

Paso 4

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{8 e^{x}}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{8}$

Paso 5

Evalúa el límite de $\frac{- 1}{8}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{- 1}{8}$

Paso 6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{8}$