Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} x \sin (\frac{2 π}{x})$

Paso 1

Reescribe $x \sin (\frac{2 π}{x})$ como $\frac{\sin (\frac{2 π}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{2 π}{x})}{\frac{1}{x}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{2 π}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{2 π}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el término $2 π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (2 π lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sin (2 π \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $2 π \cdot 0$ .

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{\sin (0 π)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{2 π}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{2 π}{x}$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{2 π}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{2 π}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.3

Como $2 π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 π}{x}$ con respecto a $x$ es $2 π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π (- x^{- 2}))}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (- 2 π x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (- 2 π \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (\frac{- 2}{x^{2}} π)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.2.2

Combina $\frac{- 2}{x^{2}}$ y $π$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) \frac{- 2 π}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (- \frac{2 π}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.2.4

Combina $\cos (\frac{2 π}{x})$ y $\frac{2 π}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (\frac{2 π}{x})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 \cos (\frac{2 π}{x}) π}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.3

Reordena los factores en $- \frac{2 \cos (\frac{2 π}{x}) π}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.8

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Paso 2.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{- x^{- 2}}$

Paso 2.3.10

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}} (- x^{2})$

Paso 2.5

Combina factores.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Paso 2.5.2

Multiplica $\frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Paso 2.5.3

Combina $\frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Paso 2.6.2

Divide $2 π \cos (\frac{2 π}{x})$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2 π \cos (\frac{2 π}{x})$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $2 π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 π lim_{x \to \infty} \cos (\frac{2 π}{x})$

Paso 3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 π \cos (lim_{x \to \infty} \frac{2 π}{x})$

Paso 3.3

Mueve el término $2 π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 π \cos (2 π lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$2 π \cos (2 π \cdot 0)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica $2 π \cdot 0$ .

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Paso 5.1.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$2 π \cos (0 π)$

Paso 5.1.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$2 π \cos (0)$

Paso 5.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 π \cdot 1$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 π$