Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

Paso 1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

Paso 1.3

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ para los radicales, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Paso 3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}$

Paso 3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Paso 3.6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}$

Paso 3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}$

Paso 3.8.2

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}$

Paso 3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Paso 3.10.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 5

Combina factores.

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Paso 5.1

Combina $3$ y $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.2

Combina $\frac{3}{x}$ y $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{x}$

Paso 6

Reduce.

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Paso 6.1

Factoriza $x$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x}$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x^{1}}$

Paso 6.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

Paso 6.2.4

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{- \frac{1}{3}}}{1}$

Paso 6.2.5

Divide $3 x^{- \frac{1}{3}}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} 3 x^{- \frac{1}{3}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} x^{- \frac{1}{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 7.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 7.2.2

Reescribe $x^{\frac{1}{3}}$ como $\sqrt[3]{x}$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ se acerca a $0$ .

$3 \cdot 0$

Paso 9

Multiplica $3$ por $0$ .

$0$