Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 11 x^{2} - 2 x + 8}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

Paso 1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Reordena $2$ y $- x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x + 2}$

Paso 1.3.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal negativo es infinito negativo.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 1.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $11 x^{2} - 2 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $11 x^{2}$ con respecto a $x$ es $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{11 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $11$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Paso 3.5

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Paso 3.6

Suma $22 x - 2$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 3.9.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1 \cdot 1}$

Paso 3.9.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1}$

Paso 3.10

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{- 1}$

Paso 4

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 4.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{22 x - 2}{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x - 2)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x) - 1 \cdot - 2$

Paso 4.3

Multiplica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $22$ .

$lim_{x \to \infty} - 22 x - 1 \cdot - 2$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} - 22 x + 2$

Paso 5

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal negativo es infinito negativo.

$- \infty$