Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 1}{x^{3} - 1}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - 2 x^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 2 x^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.2.2

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 2 x^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.2.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.2.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 \cdot 1^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.7.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - 2 \cdot 1^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.2.7.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.2.7.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1 - 2 + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.2.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.2.7.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1^{3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 1}{x^{3} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 2 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 3.6

Suma $3 x^{2} - 4 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{3 x^{2} + 0}$

Paso 3.10

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{3 x^{2}}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{x^{2}}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Paso 7

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Paso 9

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Paso 10

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 4 lim_{x \to 1} x}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Paso 11.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1}{1^{2}}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 - 4 \cdot 1}{1^{2}}$

Paso 12.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 4 \cdot 1}{1^{2}}$

Paso 12.1.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 4}{1^{2}}$

Paso 12.1.4

Resta $4$ de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{1^{2}}$

Paso 12.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{1}$

Paso 12.3

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1$

Paso 12.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Paso 12.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3}$