Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x, 1, 1$

Paso 2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ por $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.4.1.1

Reordena los términos.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Paso 2.4.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 2.4.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Paso 2.4.1.2.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Paso 2.4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Paso 2.4.1.2.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Paso 2.4.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.4.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Paso 2.4.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Paso 2.4.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 2.4.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.3

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.3.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 2.4.3.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 2.4.3.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.3.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.4.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.4.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.4.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 2.4.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.4.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- \frac{1}{2}, 1$ .

$- \frac{1}{2}, 1$

Paso 4

Establece el denominador en $\frac{1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 0.5, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.25$ en la expresión.

$f' (- 0.25) = 2 (- 0.25) - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Paso 7.2.1.2

Divide $1$ por $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Suma $- 0.5$ y $4$ .

$f' (- 0.25) = 3.5 - 1$

Paso 7.2.2.2

Resta $1$ de $3.5$ .

$f' (- 0.25) = 2.5$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $2.5$ .

$2.5$

Paso 8

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(0, 1)$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(0, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Paso 9.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Paso 9.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2) - 1$

Paso 9.2.1.3

Multiplica $- (1 \cdot 2)$ .

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Paso 9.2.1.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 1 \cdot 2 - 1$

Paso 9.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 2 - 1$

Paso 9.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 9.2.2.1

Resta $2$ de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 - 1$

Paso 9.2.2.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 9.3

En $x = \frac{1}{2}$ la derivada es $- 2$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 1)$ .

Decrecimiento en $(0, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(0, 1), (1, \infty)$

Paso 11

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 2 (2) - \frac{1}{2} - 1$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (2) = 4 - \frac{1}{2} - 1$

Paso 11.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 11.2.2.1

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} - \frac{1}{2} - 1$

Paso 11.2.2.2

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Paso 11.2.2.3

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Paso 11.2.2.4

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

Paso 11.2.2.5

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 11.2.2.6

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Paso 11.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 11.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 11.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 2}{2}$

Paso 11.2.5

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 11.2.5.1

Resta $1$ de $8$ .

$f' (2) = \frac{7 - 2}{2}$

Paso 11.2.5.2

Resta $2$ de $7$ .

$f' (2) = \frac{5}{2}$

Paso 11.2.6

La respuesta final es $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Paso 11.3

En $x = 2$ la derivada es $\frac{5}{2}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 12

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(1, \infty)$

Decrecimiento en: $(0, 1)$

Paso 13