Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{4 x}{3}$ .

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Paso 1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{4 x}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Paso 1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{4 x}{3}$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) (\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.2.2

Combina $\frac{4}{3}$ y $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \cdot 1$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide $\sin (\frac{4 x}{3})$ por $1$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

Paso 2.3.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{4 x}{3} = \arcsin (0)$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$\frac{4 x}{3} = 0$

Paso 2.3.4

Establece el numerador igual a cero.

$4 x = 0$

Paso 2.3.5

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.5.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.5.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 2.3.6

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{4 x}{3} = π - 0$

Paso 2.3.7

Resuelve $x$

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Paso 2.3.7.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

Paso 2.3.7.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.3.7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.7.2.1.1

Simplifica $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$ .

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Paso 2.3.7.2.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.7.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

Paso 2.3.7.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Paso 2.3.7.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.7.2.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{1}{4} (4 (x)) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Paso 2.3.7.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Paso 2.3.7.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{4} (π - 0)$

Paso 2.3.7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.7.2.2.1

Simplifica $\frac{3}{4} (π - 0)$ .

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Paso 2.3.7.2.2.1.1

Resta $0$ de $π$ .

$x = \frac{3}{4} π$

Paso 2.3.7.2.2.1.2

Combina $\frac{3}{4}$ y $π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 2.3.8

Obtén el período de $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

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Paso 2.3.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.3.8.2

Reemplaza $b$ con $\frac{4}{3}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} |}$

Paso 2.3.8.3

$\frac{4}{3}$ es aproximadamente $1.\overline{3}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{4}{3}}$

Paso 2.3.8.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{3}{4}$

Paso 2.3.8.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.8.5.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{4}$

Paso 2.3.8.5.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (π) \frac{3}{2 (2)}$

Paso 2.3.8.5.3

Cancela el factor común.

$2 π \frac{3}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.8.5.4

Reescribe la expresión.

$π \frac{3}{2}$

Paso 2.3.8.6

Combina $π$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{π \cdot 3}{2}$

Paso 2.3.8.7

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 2.3.9

El período de la función $\sin (\frac{4 x}{3})$ es $\frac{3 π}{2}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{3 π}{2}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π n}{2}, \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.4

Consolida las respuestas.

$x = \frac{3 π n}{4}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{3 π n}{4}$ .

$\frac{3 π n}{4}$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π n}{4} - 1$ en la expresión.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1)}{3})}{3}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}{3})}{3}$

Paso 5.2.1.2

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

Paso 5.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 4}{4})}{3})}{3}$

Paso 5.2.2

Combina $4$ y $\frac{3 π n - 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

Paso 5.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1

Reduce la expresión $\frac{4 (3 π n - 4)}{4}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

Paso 5.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n - 4}{1}}{3})}{3}$

Paso 5.2.3.2

Divide $3 π n - 4$ por $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

Paso 5.3

En $x = \frac{3 π n}{4} - 1$ la derivada es $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π n}{4} + 1$ en la expresión.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + 1)}{3})}{3}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{4}{4})}{3})}{3}$

Paso 6.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n + 4}{4})}{3})}{3}$

Paso 6.2.2

Combina $4$ y $\frac{3 π n + 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1

Reduce la expresión $\frac{4 (3 π n + 4)}{4}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

Paso 6.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n + 4}{1}}{3})}{3}$

Paso 6.2.3.2

Divide $3 π n + 4$ por $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

Paso 6.3

En $x = \frac{3 π n}{4} + 1$ la derivada es $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Decrecimiento en: $(- \infty, \frac{3 π n}{4}), (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

Paso 8