Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ como ${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}$ .

$20 \frac{d}{d x} [{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 + 9 e^{- 3 x}$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$20 (- {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$- 20 ({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Paso 1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 9 e^{- 3 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

Paso 1.1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

Paso 1.1.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$

Paso 1.1.3.5

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 e^{- 3 x}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Paso 1.1.3.6

Multiplica $9$ por $- 20$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 3 x$ .

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Paso 1.1.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- 3 x$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 1.1.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 3 x$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 1.1.5

Diferencia.

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Paso 1.1.5.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.5.2

Multiplica $- 3$ por $- 180$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \cdot 1)$

Paso 1.1.5.4

Multiplica $e^{- 3 x}$ por $1$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Reordena los factores de $540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$ .

$540 e^{- 3 x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2}$

Paso 1.1.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Paso 1.1.6.3

Multiplica $540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ .

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Paso 1.1.6.3.1

Combina $\frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ y $540$ .

$\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} e^{- 3 x}$

Paso 1.1.6.3.2

Combina $\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ y $e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ .

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$540 e^{- 3 x} = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (540 e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Paso 2.3.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.3.3

No hay soluciones para $540 e^{- 3 x} = 0$

No hay solución

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Ningún punto hace que la derivada $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida. El intervalo para verificar si $f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ está aumentando o disminuyendo es $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la derivada $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo. Si el resultado es negativo, la gráfica está disminuyendo en el intervalo $(- \infty, \infty)$ . Si el resultado es positivo, la gráfica está aumentando en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = \frac{540 e^{- 3 \cdot 1}}{{(1 + 9 e^{- 3 \cdot 1})}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Mueve $e^{- 3 \cdot 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3})}^{2} e^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 (\frac{1}{e^{3}}))}^{2} e^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Combina $9$ y $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

Paso 5.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3} + 9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

Paso 5.2.2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{e^{3} + 9}{e^{3}}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{{(e^{3})}^{2}} \cdot e^{3}}$

Paso 5.2.2.6

Multiplica los exponentes en ${(e^{3})}^{2}$ .

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Paso 5.2.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3 \cdot 2}} \cdot e^{3}}$

Paso 5.2.2.6.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}} \cdot e^{3}}$

Paso 5.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.3.1

Combina $\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}$ y $e^{3}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}}$

Paso 5.2.3.2

Reduce la expresión $\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $e^{3}$ de ${(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}}$

Paso 5.2.3.2.2

Factoriza $e^{3}$ de $e^{6}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

Paso 5.2.3.2.3

Cancela el factor común.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

Paso 5.2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3}}}$

Paso 5.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (1) = 540 (\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}})$

Paso 5.2.5

Combina $540$ y $\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ .

$f' (1) = \frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

Paso 5.2.6

La respuesta final es $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

Paso 6

El resultado de sustituir $1$ en $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ es $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ , que es positiva, de modo que la gráfica es creciente en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Incremento en $(- \infty, \infty)$ ya que $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} > 0$

Paso 7

Incrementar sobre el intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que la función siempre aumenta.

Siempre creciente

Paso 8