Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{20 - x - x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ como ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 20 - x - x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $20 - x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $20 - x - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Paso 1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Paso 1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Paso 1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Paso 1.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Paso 1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Paso 1.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Paso 1.1.7.3

Mueve ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Paso 1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $20 - x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.9

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.14

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - (2 x))$

Paso 1.1.16

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$

Paso 1.1.17

Simplifica.

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Paso 1.1.17.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$ .

$(- 1 - 2 x) \frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.17.2

Multiplica $- 1 - 2 x$ por $\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 1 - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.17.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.17.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 1 (1) - (2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.17.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (2 x)$ .

$\frac{- 1 (1 + 2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.17.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 + 2 x = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{{(20 - x - x^{2})}^{1}}}$

Paso 4.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$

Paso 4.2

Establece el denominador en $\frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{20 - x - x^{2}} = 0$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{20 - x - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ como ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.1

Simplifica ${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(20 - x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.4

Simplifica.

$4 (20 - x - x^{2}) = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 20 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.6

Simplifica.

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Paso 4.3.2.2.1.6.1

Multiplica $4$ por $20$ .

$80 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$80 - 4 x + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.6.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0$

Paso 4.3.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.3.1.1

Factoriza $- 4$ de $80 - 4 x - 4 x^{2}$ .

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Paso 4.3.3.1.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 4.3.3.1.1.1.1

Mueve $80$ .

$- 4 x - 4 x^{2} + 80 = 0$

Paso 4.3.3.1.1.1.2

Reordena $- 4 x$ y $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

Paso 4.3.3.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

Paso 4.3.3.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 x$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

Paso 4.3.3.1.1.4

Factoriza $- 4$ de $80$ .

$- 4 x^{2} - 4 x - 4 \cdot - 20 = 0$

Paso 4.3.3.1.1.5

Factoriza $- 4$ de $- 4 (x^{2}) - 4 (x)$ .

$- 4 (x^{2} + x) - 4 \cdot - 20 = 0$

Paso 4.3.3.1.1.6

Factoriza $- 4$ de $- 4 (x^{2} + x) - 4 (- 20)$ .

$- 4 (x^{2} + x - 20) = 0$

Paso 4.3.3.1.2

Factoriza.

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Paso 4.3.3.1.2.1

Factoriza $x^{2} + x - 20$ con el método AC.

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Paso 4.3.3.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $1$ .

$- 4, 5$

Paso 4.3.3.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 4 ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Paso 4.3.3.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$

Paso 4.3.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 4.3.3.3

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 4.3.3.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 4.3.3.4

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.3.4.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 4.3.3.4.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 4.3.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 5$

Paso 4.4

Establece el radicando en $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$20 - x - x^{2} < 0$

Paso 4.5

Resuelve $x$

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Paso 4.5.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$20 - x - x^{2} = 0$

Paso 4.5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.5.2.1

Factoriza $- 1$ de $20 - x - x^{2}$ .

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Paso 4.5.2.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 4.5.2.1.1.1

Mueve $20$ .

$- x - x^{2} + 20 = 0$

Paso 4.5.2.1.1.2

Reordena $- x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} - x + 20 = 0$

Paso 4.5.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 20 = 0$

Paso 4.5.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 20 = 0$

Paso 4.5.2.1.4

Reescribe $20$ como $- 1 (- 20)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Paso 4.5.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Paso 4.5.2.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + x) - 1 (- 20)$ .

$- (x^{2} + x - 20) = 0$

Paso 4.5.2.2

Factoriza.

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Paso 4.5.2.2.1

Factoriza $x^{2} + x - 20$ con el método AC.

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Paso 4.5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $1$ .

$- 4, 5$

Paso 4.5.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Paso 4.5.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 4) (x + 5) = 0$

Paso 4.5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 4.5.4

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.4.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 4.5.4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 4.5.5

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.5.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 4.5.5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 4.5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 4) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 5$

Paso 4.5.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < 4$

$x > 4$

Paso 4.5.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.5.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.5.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 4.5.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$20 - (- 8) - {(- 8)}^{2} < 0$

Paso 4.5.8.1.3

$- 36$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.5.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.5.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 4.5.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$20 - (0) - {(0)}^{2} < 0$

Paso 4.5.8.2.3

$20$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.5.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.5.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 4.5.8.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$20 - (6) - {(6)}^{2} < 0$

Paso 4.5.8.3.3

$- 22$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.5.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

Paso 4.5.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 5$ o $x > 4$

Paso 4.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 5)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f' (- 6) = - \frac{1 + 2 (- 6)}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{1 - 12}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.1.2

Resta $12$ de $1$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.2.1.2

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 1 \cdot 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $20$ y $6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(26 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.2.3

Resta $36$ de $26$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 6) = \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3

En $x = - 6$ la derivada es $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 5)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 5)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 5, - \frac{1}{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.75$ en la expresión.

$f' (- 2.75) = - \frac{1 + 2 (- 2.75)}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{1 - 5.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.1.2

Resta $5.5$ de $1$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.2.1.2

Eleva $- 2.75$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 1 \cdot 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $7.5625$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $20$ y $2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(22.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.2.3

Resta $7.5625$ de $22.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.2.4

Reescribe $15.1875$ como ${3.89711431}^{2}$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.2.5

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 7.2.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.6.1

Cancela el factor común.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 7.2.2.6.2

Reescribe la expresión.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Paso 7.2.2.7

Evalúa el exponente.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Multiplica $2$ por $3.89711431$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{7.79422863}$

Paso 7.2.3.2

Divide $- 4.5$ por $7.79422863$ .

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

Paso 7.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 0.57735026$ .

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $0.57735026$ .

$0.57735026$

Paso 7.3

En $x = - 2.75$ la derivada es $0.57735026$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 5, - \frac{1}{2})$ .

Incremento en $(- 5, - \frac{1}{2})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 0.5, 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.75$ en la expresión.

$f' (1.75) = - \frac{1 + 2 (1.75)}{2 {(20 - (1.75) - {(1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Multiplica $2$ por $1.75$ .

$f' (1.75) = - \frac{1 + 3.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.1.2

Suma $1$ y $3.5$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1.75$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2.1.2

Eleva $1.75$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 1 \cdot 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $3.0625$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2.2

Resta $1.75$ de $20$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(18.25 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2.3

Resta $3.0625$ de $18.25$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2.4

Reescribe $15.1875$ como ${3.89711431}^{2}$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2.5

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 8.2.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.6.1

Cancela el factor común.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 8.2.2.6.2

Reescribe la expresión.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Paso 8.2.2.7

Evalúa el exponente.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Paso 8.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.1

Multiplica $2$ por $3.89711431$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{7.79422863}$

Paso 8.2.3.2

Divide $4.5$ por $7.79422863$ .

$f' (1.75) = - 1 \cdot 0.57735026$

Paso 8.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $0.57735026$ .

$f' (1.75) = - 0.57735026$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 0.57735026$ .

$- 0.57735026$

Paso 8.3

En $x = 1.75$ la derivada es $- 0.57735026$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 0.5, 4)$ .

Decrecimiento en $(- \frac{1}{2}, 4)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = - \frac{1 + 2 (5)}{2 {(20 - (5) - {(5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$f' (5) = - \frac{1 + 10}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.1.2

Suma $1$ y $10$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 1 \cdot 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.2.2

Resta $5$ de $20$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(15 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.2.3

Resta $25$ de $15$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.3

En $x = 5$ la derivada es $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(4, \infty)$ .

Decrecimiento en $(4, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 5, - \frac{1}{2})$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 5), (- \frac{1}{2}, 4), (4, \infty)$

Paso 11