Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{2 x - 4}$

Paso 1

Escribe $f (x) = e^{2 x - 4}$ como una ecuación.

$y = e^{2 x - 4}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = e^{2 y - 4}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $e^{2 y - 4} = x$ .

$e^{2 y - 4} = x$

Paso 3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 y - 4}) = \ln (x)$

Paso 3.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Expande $\ln (e^{2 y - 4})$ ; para ello, mueve $2 y - 4$ fuera del logaritmo.

$(2 y - 4) \ln (e) = \ln (x)$

Paso 3.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(2 y - 4) \cdot 1 = \ln (x)$

Paso 3.3.3

Multiplica $2 y - 4$ por $1$ .

$2 y - 4 = \ln (x)$

Paso 3.4

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = \ln (x) + 4$

Paso 3.5

Divide cada término en $2 y = \ln (x) + 4$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $2 y = \ln (x) + 4$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{4}{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{4}{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{4}{2}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Divide $4$ por $2$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + 2$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$ es la inversa de $f (x) = e^{2 x - 4}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (e^{2 x - 4})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{\ln (e^{2 x - 4})}{2} + 2$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Expande $\ln (e^{2 x - 4})$ ; para ello, mueve $2 x - 4$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{(2 x - 4) \ln (e)}{2} + 2$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $2 x - 4$ y $2$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $(2 x - 4) \ln (e)$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{2 ((x - 2) \ln (e))}{2} + 2$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{2 ((x - 2) \ln (e))}{2 (1)} + 2$

Paso 5.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{2 ((x - 2) \ln (e))}{2 \cdot 1} + 2$

Paso 5.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = \frac{(x - 2) \ln (e)}{1} + 2$

Paso 5.2.3.2.2.4

Divide $(x - 2) \ln (e)$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = (x - 2) \ln (e) + 2$

Paso 5.2.3.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = x - 2 + 2$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 4}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x)}{2} + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + 2) - 4}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Reescribe $\frac{\ln (x)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + 2) - 4}$

Paso 5.3.3.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (x)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2) - 4}$

Paso 5.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 2 - 4}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 \cdot 2 - 4}$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 - 4}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.5.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.3.3.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 - 4}$

Paso 5.3.3.5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.5.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 - 4}$

Paso 5.3.3.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x^{1}) + 4 - 4}$

Paso 5.3.3.5.2

Simplifica.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x) + 4 - 4}$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $\ln (x) + 4 - 4$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $4$ de $4$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x) + 0}$

Paso 5.3.4.2

Suma $\ln (x)$ y $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = e^{\ln (x)}$

Paso 5.3.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$ es la inversa de $f (x) = e^{2 x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + 2$