Cálculo Ejemplos

$y = \ln^{3} (x)$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \ln^{3} (y)$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\ln^{3} (y) = x$ .

$\ln^{3} (y) = x$

Paso 2.2

Resuelve $y$

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$\ln^{3} (y) = x$

Paso 2.2.2

Resuelve $y$

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Paso 2.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\ln (y) = \sqrt[3]{x}$

Paso 2.2.2.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[3]{x}}$

Paso 2.2.2.3

Reescribe $\ln (y) = \sqrt[3]{x}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[3]{x}} = y$

Paso 2.2.2.4

Reescribe la ecuación como $y = e^{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = e^{\sqrt[3]{x}}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ es la inversa de $f (x) = \ln^{3} (x)$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\ln^{3} (x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

Paso 4.2.3

Elimina los paréntesis.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

Paso 4.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\ln (x)}$

Paso 4.2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (e^{\sqrt[3]{x}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = \ln^{3} (e^{\sqrt[3]{x}})$

Paso 4.3.3

Usa las reglas de logaritmos para mover $\sqrt[3]{x}$ fuera del exponente.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \ln (e))}^{3}$

Paso 4.3.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \cdot 1)}^{3}$

Paso 4.3.5

Multiplica $\sqrt[3]{x}$ por $1$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Paso 4.3.6

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Paso 4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Paso 4.3.6.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

Paso 4.3.6.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

Paso 4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

Paso 4.3.6.5

Simplifica.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ es la inversa de $f (x) = \ln^{3} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$