Cálculo Ejemplos

$f (x, y) = x + \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

Paso 1

Escribe $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$ como una función.

$f (x) = f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$

Paso 2

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - x = \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

Paso 2.2

Resta $\frac{4}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} = - y - \frac{9}{y} + 10$

Paso 2.3

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y = - \frac{9}{y} + 10$

Paso 2.4

Suma $\frac{9}{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} = 10$

Paso 2.5

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$

Paso 3

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.2

Multiplica $f$ por cada elemento de la matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4}{x}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.4.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.4.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.5.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.5.2

Como $\frac{9}{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{9}{y}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.5.3

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + 0$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 \frac{1}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

Paso 3.6.2

Combina los términos.

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Paso 3.6.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

Paso 3.6.2.2

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0$

Paso 3.6.2.3

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0$

Paso 3.6.2.4

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$

Paso 3.6.3

Reordena los términos.

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1$

Paso 4

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 4.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 4.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.2.9

Resta $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.2.10

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 4.3.1.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.3.1.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por cada elemento de la matriz.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.3.3

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.3.3.1.1

Factoriza $x$ de $f x$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Combina $f$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.3.3.2.2

Combina $\frac{f}{x}$ y $y$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Paso 4.5.2

Combina los términos.

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Paso 4.5.2.1

Combina $- 8$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Paso 4.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Paso 4.5.2.3

Suma $- \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Paso 5

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1 = 0$

Paso 6

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 7

No hay extremos locales

Paso 8