Cálculo Ejemplos

$f (x, y) = x y + y - 16 x$

Paso 1

Escribe $f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$ como una función.

$f (x) = f (x, y) - x y - y + 16 x$

Paso 2

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - x y = y - 16 x$

Paso 2.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - x y - y = - 16 x$

Paso 2.3

Suma $16 x$ a ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$

Paso 3

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $f (x, y) - x y - y + 16 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 3.2

Multiplica $f$ por cada elemento de la matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 3.4

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Paso 3.5.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Paso 3.5.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Paso 3.6.2

Reordena los términos.

$- y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Paso 4

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 4.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 4.1.2

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 4.2.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por cada elemento de la matriz.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 4.2.3

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Factoriza $x$ de $f x$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 4.2.3.1.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 4.2.3.1.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Combina $f$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 4.2.3.2.2

Combina $\frac{f}{x}$ y $y$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (16)$

Paso 4.3

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Paso 4.4

Combina los términos.

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Paso 4.4.1

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Paso 4.4.2

Suma $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Paso 5

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Paso 6

Obtén la primera derivada.

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Paso 6.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 6.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $f (x, y) - x y - y + 16 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 6.1.2

Multiplica $f$ por cada elemento de la matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 6.1.3.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 6.1.4

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Paso 6.1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Paso 6.1.5.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Paso 6.1.5.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Paso 6.1.6

Simplifica.

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Paso 6.1.6.1

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Paso 6.1.6.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Paso 6.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$

Paso 7

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$ .

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Paso 7.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$- y + \frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Paso 7.2.1.2

Reescribe la expresión.

$- y + \frac{1}{x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Paso 7.2.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por cada elemento de la matriz.

$- y + (\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Paso 7.2.3

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.3.1.1

Factoriza $x$ de $f x$ .

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Paso 7.2.3.1.2

Cancela el factor común.

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Paso 7.2.3.1.3

Reescribe la expresión.

$- y + (f, \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Paso 7.2.3.2.1

Combina $f$ y $\frac{1}{x}$ .

$- y + (f, \frac{f}{x} y) + 16 = 0$

Paso 7.2.3.2.2

Combina $\frac{f}{x}$ y $y$ .

$- y + (f, \frac{f y}{x}) + 16 = 0$

Paso 7.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.3.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$(f, \frac{f y}{x}) + 16 = y$

Paso 7.3.2

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$(f, \frac{f y}{x}) = y - 16$

Paso 8

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{d}{d x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$d x = 0$

Paso 8.2

Divide cada término en $d x = 0$ por $x$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $d x = 0$ por $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $d$ por $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Divide $0$ por $x$ .

$d = 0$

Paso 8.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$y = 0$

Paso 9

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 11.1

Multiplica $d$ por $0$ .

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Paso 11.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 12

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 13