Cálculo Ejemplos

$f (x, y) = {(x - 1)}^{2} + y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 5$

Paso 1

Escribe $f (x, y) - x^{2} + 2 x - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 6 = 0$ como una función.

$f (x) = f (x, y) - x^{2} + 2 x - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 6$

Paso 2

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Resta ${(x - 1)}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} = y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 5$

Paso 2.2

Resta $y^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} - y^{3} = - 3 y^{2} - 9 y + 5$

Paso 2.3

Suma $3 y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} - y^{3} + 3 y^{2} = - 9 y + 5$

Paso 2.4

Suma $9 y$ a ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y = 5$

Paso 2.5

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Paso 3

Simplifica $f (x, y) - {(x - 1)}^{2} - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5$ .

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$f (x, y) - ((x - 1) (x - 1)) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Paso 3.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) - (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Paso 3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Paso 3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Paso 3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x, y) - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f (x, y) - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Paso 3.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f (x, y) - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Paso 3.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f (x, y) - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Paso 3.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x, y) - (x^{2} - x - x + 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Paso 3.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$f (x, y) - (x^{2} - 2 x + 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Paso 3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1 - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Paso 3.1.5

Simplifica.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f (x, y) - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (x, y) - x^{2} + 2 x - 1 - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Paso 3.2

Resta $5$ de $- 1$ .

$f (x, y) - x^{2} + 2 x - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 6 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $f (x, y) - x^{2} + 2 x - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.2

Multiplica $f$ por cada elemento de la matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 4.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.5.1

Como $- y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.5.2

Como $3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.5.3

Como $9 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 4.5.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0 + 0$

Paso 4.6

Simplifica.

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Paso 4.6.1

Combina los términos.

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Paso 4.6.1.1

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0$

Paso 4.6.1.2

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0$

Paso 4.6.1.3

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0$

Paso 4.6.1.4

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$

Paso 4.6.2

Reordena los términos.

$- 2 x + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 2$

Paso 5

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 5.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 5.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 5.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 5.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 5.3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por cada elemento de la matriz.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 5.3.3

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $x$ de $f x$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 5.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Combina $f$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 5.3.3.2.2

Combina $\frac{f}{x}$ y $y$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Paso 5.4.2

Suma $- 2 + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ y $0$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Paso 6

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2 = 0$

Paso 7

Obtén la primera derivada.

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Paso 7.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 7.1.1

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 7.1.2

Multiplica $f$ por cada elemento de la matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 7.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 7.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 7.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 7.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 7.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 7.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 7.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 7.1.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 7.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 7.1.5.1

Como $- y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 7.1.5.2

Como $3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 7.1.5.3

Como $9 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 7.1.5.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0 + 0$

Paso 7.1.6

Simplifica.

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Paso 7.1.6.1

Combina los términos.

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Paso 7.1.6.1.1

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0$

Paso 7.1.6.1.2

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0$

Paso 7.1.6.1.3

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0$

Paso 7.1.6.1.4

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$

Paso 7.1.6.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - 2 x + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 2$

Paso 7.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2$

Paso 8

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2 = 0$

Paso 9

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{d}{d x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$d x = 0$

Paso 9.2

Divide cada término en $d x = 0$ por $d$ y simplifica.

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Paso 9.2.1

Divide cada término en $d x = 0$ por $d$ .

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 9.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Paso 9.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{d}$

Paso 9.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.1

Divide $0$ por $d$ .

$x = 0$

Paso 10

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 + \frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 12.1

Multiplica $d$ por $0$ .

$- 2 + \frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Paso 12.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 13

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 14