Cálculo Ejemplos

$y = x^{5} e^{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$e^{x} x^{5} + 5 e^{x} x^{4}$

Paso 1.4.2

Reordena los factores en $e^{x} x^{5} + 5 e^{x} x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4} e^{x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 (x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}))$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 (x^{4} e^{x}) + 5 (e^{x} (4 x^{3}))$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 x^{4} e^{x} + 20 (e^{x} (x^{3}))$

Paso 2.4.2.2

Suma $e^{x} (5 x^{4})$ y $5 x^{4} e^{x}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x} + 5 x^{4} e^{x} + 20 e^{x} x^{3}$

Paso 2.4.2.2.2

Suma $5 x^{4} e^{x}$ y $5 x^{4} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 10 x^{4} e^{x} + 20 e^{x} x^{3}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$e^{x} x^{5} + 10 e^{x} x^{4} + 20 e^{x} x^{3}$

Paso 2.4.4

Reordena los factores en $e^{x} x^{5} + 10 e^{x} x^{4} + 20 e^{x} x^{3}$ .

$f'' (x) = x^{5} e^{x} + 10 x^{4} e^{x} + 20 x^{3} e^{x}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} e^{x} + 10 x^{4} e^{x} + 20 x^{3} e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x^{4} e^{x}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{3} e^{x}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})) + 20 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})) + 20 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})) + 20 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})) + 20 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x}) + 10 (e^{x} (4 x^{3})) + 20 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Paso 3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x}) + 10 (e^{x} (4 x^{3})) + 20 (x^{3} e^{x}) + 20 (e^{x} (3 x^{2}))$

Paso 3.5.3

Combina los términos.

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Paso 3.5.3.1

Multiplica $4$ por $10$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 x^{4} e^{x} + 40 (e^{x} (x^{3})) + 20 (x^{3} e^{x}) + 20 (e^{x} (3 x^{2}))$

Paso 3.5.3.2

Suma $e^{x} (5 x^{4})$ y $10 x^{4} e^{x}$ .

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Paso 3.5.3.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x} + 10 x^{4} e^{x} + 40 e^{x} x^{3} + 20 (x^{3} e^{x}) + 20 (e^{x} (3 x^{2}))$

Paso 3.5.3.2.2

Suma $5 x^{4} e^{x}$ y $10 x^{4} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 15 x^{4} e^{x} + 40 e^{x} x^{3} + 20 (x^{3} e^{x}) + 20 (e^{x} (3 x^{2}))$

Paso 3.5.3.3

Multiplica $3$ por $20$ .

$x^{5} e^{x} + 15 x^{4} e^{x} + 40 e^{x} x^{3} + 20 x^{3} e^{x} + 60 (e^{x} (x^{2}))$

Paso 3.5.3.4

Suma $40 e^{x} x^{3}$ y $20 x^{3} e^{x}$ .

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Paso 3.5.3.4.1

Mueve $e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 15 x^{4} e^{x} + 40 x^{3} e^{x} + 20 x^{3} e^{x} + 60 e^{x} x^{2}$

Paso 3.5.3.4.2

Suma $40 x^{3} e^{x}$ y $20 x^{3} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 15 x^{4} e^{x} + 60 x^{3} e^{x} + 60 e^{x} x^{2}$

Paso 3.5.4

Reordena los términos.

$e^{x} x^{5} + 15 e^{x} x^{4} + 60 e^{x} x^{3} + 60 e^{x} x^{2}$

Paso 3.5.5

Reordena los factores en $e^{x} x^{5} + 15 e^{x} x^{4} + 60 e^{x} x^{3} + 60 e^{x} x^{2}$ .

$f''' (x) = x^{5} e^{x} + 15 x^{4} e^{x} + 60 x^{3} e^{x} + 60 x^{2} e^{x}$