Cálculo Ejemplos

$y = x^{\frac{7}{2}} - 35 x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{7}{2}} - 35 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

Paso 1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

Paso 1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

Paso 1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

Paso 1.2.5.2

Resta $2$ de $7$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 35 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 35$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 35 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 35 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} - 35 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} - 35 (2 x)$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 35$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} - 70 x$

Paso 1.4

Combina $\frac{7}{2}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 70 x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 70 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{7}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Paso 2.2.6.2

Resta $2$ de $5$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Paso 2.2.7

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Paso 2.2.8

Multiplica $\frac{7}{2}$ por $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{7 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Paso 2.2.9

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Paso 2.2.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 70$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 70 x$ con respecto a $x$ es $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4} - 70 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 70$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4} - 70$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4} - 70$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 70]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 70]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{35}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{35}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{35}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 70]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

Paso 3.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

Paso 3.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

Paso 3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

Paso 3.2.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{35}{4} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 70]$

Paso 3.2.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{35}{4} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 70]$

Paso 3.2.8

Multiplica $\frac{35}{4}$ por $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{35 (3 x^{\frac{1}{2}})}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 70]$

Paso 3.2.9

Multiplica $3$ por $35$ .

$\frac{105 x^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 70]$

Paso 3.2.10

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{105 x^{\frac{1}{2}}}{8} + \frac{d}{d x} [- 70]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $- 70$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 70$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{105 x^{\frac{1}{2}}}{8} + 0$

Paso 3.3.2

Suma $\frac{105 x^{\frac{1}{2}}}{8}$ y $0$ .

$f''' (x) = \frac{105 x^{\frac{1}{2}}}{8}$