Cálculo Ejemplos

$y = 2 x^{3} e^{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3} e^{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{3} e^{x}) + 2 (e^{x} (3 x^{2}))$

Paso 1.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 x^{3} e^{x} + 6 e^{x} x^{2}$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$2 e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2}$

Paso 1.5.4

Reordena los factores en $2 e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2}$ .

$f' (x) = 2 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3} e^{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3} e^{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2} e^{x}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Paso 2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{3} e^{x}) + 2 (e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{3} e^{x}) + 2 (e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x}) + 6 (e^{x} (2 x))$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 x^{3} e^{x} + 6 (e^{x} (x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x}) + 6 (e^{x} (2 x))$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$2 x^{3} e^{x} + 6 e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 12 (e^{x} (x))$

Paso 2.4.3.3

Suma $6 e^{x} x^{2}$ y $6 x^{2} e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.3.1

Mueve $e^{x}$ .

$2 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} x$

Paso 2.4.3.3.2

Suma $6 x^{2} e^{x}$ y $6 x^{2} e^{x}$ .

$2 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} x$

Paso 2.4.4

Reordena los términos.

$2 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2} + 12 e^{x} x$

Paso 2.4.5

Reordena los factores en $2 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2} + 12 e^{x} x$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} + 12 x e^{x}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} + 12 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3} e^{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3} e^{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x}]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{2} e^{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{2} e^{x}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 12 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x}]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x e^{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 12 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 12 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 12 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 12 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Paso 3.4.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 12 (x e^{x} + e^{x})$

Paso 3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{3} e^{x}) + 2 (e^{x} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 12 (x e^{x} + e^{x})$

Paso 3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{3} e^{x}) + 2 (e^{x} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} e^{x}) + 12 (e^{x} (2 x)) + 12 (x e^{x} + e^{x})$

Paso 3.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{3} e^{x}) + 2 (e^{x} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} e^{x}) + 12 (e^{x} (2 x)) + 12 (x e^{x}) + 12 e^{x}$

Paso 3.5.4

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 x^{3} e^{x} + 6 (e^{x} (x^{2})) + 12 (x^{2} e^{x}) + 12 (e^{x} (2 x)) + 12 (x e^{x}) + 12 e^{x}$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $2$ por $12$ .

$2 x^{3} e^{x} + 6 e^{x} x^{2} + 12 x^{2} e^{x} + 24 (e^{x} (x)) + 12 (x e^{x}) + 12 e^{x}$

Paso 3.5.4.3

Suma $6 e^{x} x^{2}$ y $12 x^{2} e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.4.3.1

Mueve $e^{x}$ .

$2 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} + 24 e^{x} x + 12 (x e^{x}) + 12 e^{x}$

Paso 3.5.4.3.2

Suma $6 x^{2} e^{x}$ y $12 x^{2} e^{x}$ .

$2 x^{3} e^{x} + 18 x^{2} e^{x} + 24 e^{x} x + 12 (x e^{x}) + 12 e^{x}$

Paso 3.5.4.4

Suma $24 e^{x} x$ y $12 x e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.4.4.1

Mueve $e^{x}$ .

$2 x^{3} e^{x} + 18 x^{2} e^{x} + 24 x e^{x} + 12 x e^{x} + 12 e^{x}$

Paso 3.5.4.4.2

Suma $24 x e^{x}$ y $12 x e^{x}$ .

$2 x^{3} e^{x} + 18 x^{2} e^{x} + 36 x e^{x} + 12 e^{x}$

Paso 3.5.5

Reordena los términos.

$2 e^{x} x^{3} + 18 e^{x} x^{2} + 36 e^{x} x + 12 e^{x}$

Paso 3.5.6

Reordena los factores en $2 e^{x} x^{3} + 18 e^{x} x^{2} + 36 e^{x} x + 12 e^{x}$ .

$f''' (x) = 2 x^{3} e^{x} + 18 x^{2} e^{x} + 36 x e^{x} + 12 e^{x}$