Cálculo Ejemplos

$y = 4 x^{3} \sqrt{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Multiplica $x^{3}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x^{\frac{1}{2}} x^{3})]$

Paso 1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3}]$

Paso 1.2.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}]$

Paso 1.2.4

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}]$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}}]$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 6}{2}}]$

Paso 1.2.6.2

Suma $1$ y $6$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{7}{2}}]$

Paso 1.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{\frac{7}{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

Paso 1.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 1.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

Paso 1.8.2

Resta $2$ de $7$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

Paso 1.9

Combina $\frac{7}{2}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Paso 1.10

Combina $4$ y $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Paso 1.11

Multiplica $7$ por $4$ .

$\frac{28 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Paso 1.12

Factoriza $2$ de $28 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Paso 1.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.13.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

Paso 1.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

Paso 1.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{14 x^{\frac{5}{2}}}{1}$

Paso 1.13.4

Divide $14 x^{\frac{5}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = 14 x^{\frac{5}{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $5$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Paso 2.7

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$14 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 2.8

Combina $14$ y $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{14 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Paso 2.9

Multiplica $5$ por $14$ .

$\frac{70 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 2.10

Factoriza $2$ de $70 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Paso 2.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Paso 2.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{1}$

Paso 2.11.4

Divide $35 x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = 35 x^{\frac{3}{2}}$