Cálculo Ejemplos

$y = \ln (x^{2} + 3 x + 15)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} + 3 x + 15$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3 x + 15$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])$

Paso 1.2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15])$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15])$

Paso 1.2.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [15])$

Paso 1.2.6

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3 + 0)$

Paso 1.2.7

Suma $2 x + 3$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reordena los factores de $\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15} (2 x + 3)$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{x^{2} + 3 x + 15}$

Paso 1.3.2

Multiplica $2 x + 3$ por $\frac{1}{x^{2} + 3 x + 15}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 15}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x + 3$ y $g (x) = x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) (2 + 0) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 15) \cdot 2 - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.2.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 3 x + 15$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 15]}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3 x + 15$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.2.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.2.11

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.2.12

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.2.13

Suma $2 x + 3$ y $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - (2 x + 3) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $2 x + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - ({(2 x + 3)}^{1} (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.4

Eleva $2 x + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - ({(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{1})}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - {(2 x + 3)}^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 15) - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot 15 - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.2.1.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 2 \cdot 15 - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.2

Multiplica $2$ por $15$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - {(2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.3

Reescribe ${(2 x + 3)}^{2}$ como $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - ((2 x + 3) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.4

Expande $(2 x + 3) (2 x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.7.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.7.2.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.2.1.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.7.2.1.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.5.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.5.1.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.5.1.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.5.1.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.5.2

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2} + 12 x + 9)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - (4 x^{2}) - (12 x) - 1 \cdot 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.7

Simplifica.

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Paso 2.7.2.1.7.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - 4 x^{2} - (12 x) - 1 \cdot 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.7.2

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - 4 x^{2} - 12 x - 1 \cdot 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.1.7.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 30 - 4 x^{2} - 12 x - 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.2

Resta $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 6 x + 30 - 12 x - 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.3

Resta $12 x$ de $6 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 6 x + 30 - 9}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.2.4

Resta $9$ de $30$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 6 x + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.3

Factoriza $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - 6 x + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.4

Factoriza $- 1$ de $- 6 x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (6 x) + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.5

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{2}) - (6 x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 6 x) + 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.6

Reescribe $21$ como $- 1 (- 21)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 6 x) - 1 (- 21)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.7

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{2} + 6 x) - 1 (- 21)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 6 x - 21)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.8

Reescribe $- (2 x^{2} + 6 x - 21)$ como $- 1 (2 x^{2} + 6 x - 21)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 6 x - 21)}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$

Paso 2.7.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} + 6 x - 21}{{(x^{2} + 3 x + 15)}^{2}}$