Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{5 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{5 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{5} (- x^{- 2})$

Paso 1.4

Combina fracciones.

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Paso 1.4.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{- 2}$ .

$- \frac{x^{- 2}}{5}$

Paso 1.4.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{5 x^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- \frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{5 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- \frac{1}{5} (- 2 x^{- 3})$

Paso 2.4

Combina fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 (\frac{1}{5}) x^{- 3}$

Paso 2.4.2

Combina $2$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} x^{- 3}$

Paso 2.4.3

Combina $\frac{2}{5}$ y $x^{- 3}$ .

$\frac{2 x^{- 3}}{5}$

Paso 2.4.4

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{5 x^{3}}$