Cálculo Ejemplos

$f (θ) = 3 \tan^{2} (θ)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $3$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $3 \tan^{2} (θ)$ con respecto a $θ$ es $3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = θ^{2}$ y $g (θ) = \tan (θ)$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\tan (θ)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (θ)$ .

$3 (2 \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Paso 1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 (\tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Paso 1.4

La derivada de $\tan (θ)$ con respecto a $θ$ es $\sec^{2} (θ)$ .

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$

Paso 1.5

Reordena los factores de $6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$f' (θ) = 6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $6$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ con respecto a $θ$ es $6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$ .

$6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ es $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ donde $f (θ) = \sec^{2} (θ)$ y $g (θ) = \tan (θ)$ .

$6 (\sec^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Paso 2.3

La derivada de $\tan (θ)$ con respecto a $θ$ es $\sec^{2} (θ)$ .

$6 (\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Paso 2.4

Multiplica $\sec^{2} (θ)$ por $\sec^{2} (θ)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 ({\sec (θ)}^{2 + 2} + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Paso 2.4.2

Suma $2$ y $2$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = θ^{2}$ y $g (θ) = \sec (θ)$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 u \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Paso 2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\tan (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \cdot \tan (θ) \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)])$

Paso 2.7

La derivada de $\sec (θ)$ con respecto a $θ$ es $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ)))$

Paso 2.8

Eleva $\tan (θ)$ a la potencia de $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

Paso 2.9

Eleva $\tan (θ)$ a la potencia de $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

Paso 2.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) \sec (θ))$

Paso 2.11

Suma $1$ y $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec (θ) \sec (θ))$

Paso 2.12

Eleva $\sec (θ)$ a la potencia de $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)))$

Paso 2.13

Eleva $\sec (θ)$ a la potencia de $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)))$

Paso 2.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1})$

Paso 2.15

Suma $1$ y $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

Paso 2.16

Simplifica.

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Paso 2.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 \sec^{4} (θ) + 6 (2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

Paso 2.16.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$6 \sec^{4} (θ) + 12 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$

Paso 2.16.3

Reordena los términos.

$f'' (θ) = 12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$

Paso 3

La segunda derivada de $f (θ)$ con respecto a $θ$ es $12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$ .

$12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$