Cálculo Ejemplos

$\sin (2 y) = x$ ; $(0, \frac{π}{2})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (\sin (2 y)) = \frac{d}{d y} (x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \sin (y)$ y $g (y) = 2 y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y$ .

$\cos (2 y) \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\cos (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (2 y) (2 \cdot 1)$

Paso 2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\cos (2 y) \cdot 2$

Paso 2.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 y)$ .

$2 \cos (2 y)$

Paso 3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 \cos (2 y) = x'$

Paso 5

Reescribe la ecuación como $x' = 2 \cos (2 y)$ .

$x' = 2 \cos (2 y)$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 \cos (2 y)$

Paso 7

Reemplaza $x$ con $0$ y $y$ con $\frac{p}{2}$ en la expresión.

$\frac{d x}{d y} = 2 \cos (2 (\frac{p}{2}))$

Paso 8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$2 \cos (2 \frac{p}{2})$

Paso 8.2

Reescribe la expresión.

$2 \cos (p)$