Cálculo Ejemplos

$y = (7 \sqrt{x} + 4) x^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 7 \sqrt{x} + 4$ y $g (x) = x^{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x} + 4]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x} + 4]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 \sqrt{x} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.10

Combina $7$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Paso 4.2

Suma $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 \sqrt{x} (2 x) + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$14 \sqrt{x} x + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$14 x^{\frac{1}{2}} x + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$14 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$14 x^{1 + \frac{1}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$14 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$14 x^{\frac{2 + 1}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.7

Suma $2$ y $1$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.8

Multiplica $2$ por $4$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.9

Combina $x^{2}$ y $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{x^{2} \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.10

Mueve $7$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.11

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.2.12

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.12.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Paso 5.2.12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2}$

Paso 5.2.12.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Paso 5.2.12.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Paso 5.2.12.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Paso 5.2.12.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.12.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2}$

Paso 5.2.12.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 5.2.13

Para escribir $14 x^{\frac{3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 5.2.14

Combina $14 x^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 5.2.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 x + \frac{14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 5.2.16

Multiplica $2$ por $14$ .

$8 x + \frac{28 x^{\frac{3}{2}} + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 5.2.17

Suma $28 x^{\frac{3}{2}}$ y $7 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + \frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{2}$