Cálculo Ejemplos

$1.4 \sum_{k = 1}^{10} 49 - {(- 7 + 1.4 k)}^{2}$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Reescribe ${(- 7 + 1.4 k)}^{2}$ como $(- 7 + 1.4 k) (- 7 + 1.4 k)$ .

$49 - ((- 7 + 1.4 k) (- 7 + 1.4 k))$

Paso 1.1.2

Expande $(- 7 + 1.4 k) (- 7 + 1.4 k)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$49 - (- 7 (- 7 + 1.4 k) + 1.4 k (- 7 + 1.4 k))$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$49 - (- 7 \cdot - 7 - 7 (1.4 k) + 1.4 k (- 7 + 1.4 k))$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$49 - (- 7 \cdot - 7 - 7 (1.4 k) + 1.4 k \cdot - 7 + 1.4 k (1.4 k))$

Paso 1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$49 - (49 - 7 (1.4 k) + 1.4 k \cdot - 7 + 1.4 k (1.4 k))$

Paso 1.1.3.1.2

Multiplica $1.4$ por $- 7$ .

$49 - (49 - 9.8 k + 1.4 k \cdot - 7 + 1.4 k (1.4 k))$

Paso 1.1.3.1.3

Multiplica $- 7$ por $1.4$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 k (1.4 k))$

Paso 1.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 \cdot 1.4 k \cdot k)$

Paso 1.1.3.1.5

Multiplica $k$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.1.5.1

Mueve $k$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 \cdot 1.4 (k \cdot k))$

Paso 1.1.3.1.5.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 \cdot 1.4 k^{2})$

Paso 1.1.3.1.6

Multiplica $1.4$ por $1.4$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.96 k^{2})$

Paso 1.1.3.2

Resta $9.8 k$ de $- 9.8 k$ .

$49 - (49 - 19.6 k + 1.96 k^{2})$

Paso 1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$49 - 1 \cdot 49 - (- 19.6 k) - (1.96 k^{2})$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $49$ .

$49 - 49 - (- 19.6 k) - (1.96 k^{2})$

Paso 1.1.5.2

Multiplica $- 19.6$ por $- 1$ .

$49 - 49 + 19.6 k - (1.96 k^{2})$

Paso 1.1.5.3

Multiplica $1.96$ por $- 1$ .

$49 - 49 + 19.6 k - 1.96 k^{2}$

Paso 1.2

Resta $49$ de $49$ .

$0 + 19.6 k - 1.96 k^{2}$

Paso 1.3

Suma $0$ y $19.6 k$ .

$19.6 k - 1.96 k^{2}$

Paso 1.4

Reescribe la suma.

$1.4 \sum_{k = 1}^{10} 19.6 k - 1.96 k^{2}$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$1.4 \sum_{k = 1}^{10} 19.6 k - 1.96 k^{2} = (1.4 \cdot 19.6) \sum_{k = 1}^{10} k + (1.4 \cdot - 1.96) \sum_{k = 1}^{10} k^{2}$

Paso 3

Evalúa $(1.4 \cdot 19.6) \sum_{k = 1}^{10} k$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(1.4 \cdot 19.6) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Suma $10$ y $1$ .

$1.4 \cdot 19.6 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Paso 3.3.2

Multiplica $10$ por $11$ .

$1.4 \cdot 19.6 \frac{110}{2}$

Paso 3.3.3

Multiplica $1.4$ por $19.6$ .

$27.44 (\frac{110}{2})$

Paso 3.3.4

Divide $110$ por $2$ .

$27.44 \cdot 55$

Paso 3.3.5

Multiplica $27.44$ por $55$ .

$1509.2$

Paso 4

Evalúa $(1.4 \cdot - 1.96) \sum_{k = 1}^{10} k^{2}$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(1.4 \cdot - 1.96) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1.1

Suma $10$ y $1$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Paso 4.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 4.3.1.2.1

Multiplica $10$ por $11$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{110 (20 + 1)}{6}$

Paso 4.3.1.3

Suma $20$ y $1$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{110 \cdot 21}{6}$

Paso 4.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $110$ por $21$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{2310}{6}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $1.4$ por $- 1.96$ .

$- 2.744 (\frac{2310}{6})$

Paso 4.3.2.3

Divide $2310$ por $6$ .

$- 2.744 \cdot 385$

Paso 4.3.2.4

Multiplica $- 2.744$ por $385$ .

$- 1056.44$

Paso 5

Suma los resultados de las sumas.

$1509.2 - 1056.44$

Paso 6

Resta $1056.44$ de $1509.2$ .

$452.76$