Cálculo Ejemplos

$- 5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5}}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5}}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ y $g (x) = x^{2} - 24 x + 80$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 24 x + 80$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{5}$ .

$- 5 (\frac{4}{5} u^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 24 x + 80$ .

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Paso 1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Paso 1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Paso 1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Paso 1.1.6.2

Resta $5$ de $4$ .

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{- 1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Paso 1.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{- \frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Paso 1.1.8

Combina $\frac{4}{5}$ y ${(x^{2} - 24 x + 80)}^{- \frac{1}{5}}$ .

$- 5 (\frac{4 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{- \frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Paso 1.1.9

Mueve ${(x^{2} - 24 x + 80)}^{- \frac{1}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 (\frac{4}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Paso 1.1.10

Combina $\frac{4}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$ y $- 5$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

Paso 1.1.11

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$\frac{- 20}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

Paso 1.1.12

Factoriza $5$ de $- 20$ .

$\frac{5 \cdot - 4}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

Paso 1.1.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.13.1

Factoriza $5$ de $5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{5 \cdot - 4}{5 ({(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

Paso 1.1.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot - 4}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

Paso 1.1.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

Paso 1.1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

Paso 1.1.15

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 24 x + 80$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [80]$ .

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Paso 1.1.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Paso 1.1.17

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [80])$

Paso 1.1.18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [80])$

Paso 1.1.19

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [80])$

Paso 1.1.20

Como $80$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $80$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24 + 0)$

Paso 1.1.21

Suma $2 x - 24$ y $0$ .

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24)$

Paso 1.1.22

Simplifica.

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Paso 1.1.22.1

Reordena los factores de $- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24)$ .

$- (2 x - 24) \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.1.22.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (2 x) - - 24) \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.1.22.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - - 24) \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.1.22.4

Multiplica $- 1$ por $- 24$ .

$(- 2 x + 24) \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.1.22.5

Multiplica $- 2 x + 24$ por $\frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{(- 2 x + 24) \cdot 4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.1.22.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.22.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 x + 24$ .

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Paso 1.1.22.6.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 24) \cdot 4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.1.22.6.1.2

Factoriza $2$ de $24$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (12)) \cdot 4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.1.22.6.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (12)$ .

$\frac{2 (- x + 12) \cdot 4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.1.22.6.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 (- x + 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.1.22.7

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{8 (- (x) + 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.1.22.8

Reescribe $12$ como $- 1 (- 12)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 12))}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.1.22.9

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 12)$ .

$\frac{8 (- (x - 12))}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.1.22.10

Reescribe $- (x - 12)$ como $- 1 (x - 12)$ .

$\frac{8 (- 1 (x - 12))}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.1.22.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{8 (x - 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{8 (x - 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$- \frac{8 (x - 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{8 (x - 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{8 (x - 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$8 (x - 12) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $8 (x - 12) = 0$ por $8$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $8 (x - 12) = 0$ por $8$ .

$\frac{8 (x - 12)}{8} = \frac{0}{8}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 (x - 12)}{8} = \frac{0}{8}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide $x - 12$ por $1$ .

$x - 12 = \frac{0}{8}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $8$ .

$x - 12 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 12$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{8 (x - 12)}{\sqrt[5]{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{1}}}$

Paso 3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{8 (x - 12)}{\sqrt[5]{x^{2} - 24 x + 80}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{8 (x - 12)}{\sqrt[5]{x^{2} - 24 x + 80}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[5]{x^{2} - 24 x + 80} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $5$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[5]{x^{2} - 24 x + 80}}^{5} = 0^{5}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x^{2} - 24 x + 80}$ como ${(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${({(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 3.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 3.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} - 24 x + 80)}^{1} = 0^{5}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x^{2} - 24 x + 80 = 0^{5}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{2} - 24 x + 80 = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $x^{2} - 24 x + 80$ con el método AC.

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Paso 3.3.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $80$ y cuya suma es $- 24$ .

$- 20, - 4$

Paso 3.3.3.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 20) (x - 4) = 0$

Paso 3.3.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 20 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 3.3.3.3

Establece $x - 20$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.3.1

Establece $x - 20$ igual a $0$ .

$x - 20 = 0$

Paso 3.3.3.3.2

Suma $20$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 20$

Paso 3.3.3.4

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.4.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 3.3.3.4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 3.3.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 20) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 20, 4$

Paso 3.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = 4, x = 20$

Paso 4

Evalúa $- 5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 12$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $12$ por $x$ .

$- 5 {({(12)}^{2} - 24 \cdot 12 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$- 5 {(144 - 24 \cdot 12 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 24$ por $12$ .

$- 5 {(144 - 288 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.2.1

Resta $288$ de $144$ .

$- 5 {(- 144 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $- 144$ y $80$ .

$- 5 {(- 64)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$- 5 {({(4)}^{2} - 24 \cdot 4 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- 5 {(16 - 24 \cdot 4 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $- 24$ por $4$ .

$- 5 {(16 - 96 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.2.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.2.2.1

Resta $96$ de $16$ .

$- 5 {(- 80 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.2.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.2.2.1

Suma $- 80$ y $80$ .

$- 5 \cdot 0^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.2.2.2.2.2

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$- 5 \cdot {(0^{5})}^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.2.2.2.2.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

Paso 4.2.2.2.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$- 5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

Paso 4.2.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- 5 \cdot 0^{4}$

Paso 4.2.2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.2.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 5 \cdot 0$

Paso 4.2.2.2.4.2

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$0$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 20$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $20$ por $x$ .

$- 5 {({(20)}^{2} - 24 \cdot 20 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$- 5 {(400 - 24 \cdot 20 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $- 24$ por $20$ .

$- 5 {(400 - 480 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.3.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.2.2.1

Resta $480$ de $400$ .

$- 5 {(- 80 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.2.2.1

Suma $- 80$ y $80$ .

$- 5 \cdot 0^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.3.2.2.2.2

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$- 5 \cdot {(0^{5})}^{\frac{4}{5}}$

Paso 4.3.2.2.2.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

Paso 4.3.2.2.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$- 5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

Paso 4.3.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- 5 \cdot 0^{4}$

Paso 4.3.2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.2.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 5 \cdot 0$

Paso 4.3.2.2.4.2

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$0$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(12, - 5 {(- 64)}^{\frac{4}{5}}), (4, 0), (20, 0)$

Paso 5