Cálculo Ejemplos

$5 x - 4 \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 4 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$5 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$5 - 4 \frac{1}{x}$

Paso 1.1.3.3

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x}$ .

$5 + \frac{- 4}{x}$

Paso 1.1.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 - \frac{4}{x}$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{4}{x} + 5$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{x} + 5$ .

$- \frac{4}{x} + 5$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{4}{x} + 5 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{4}{x} + 5 = 0$

Paso 2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{4}{x} = - 5$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $- \frac{4}{x} = - 5$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{4}{x} = - 5$ por $x$ .

$- \frac{4}{x} x = - 5 x$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{x}$ al numerador.

$\frac{- 4}{x} x = - 5 x$

Paso 2.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 4}{x} x = - 5 x$

Paso 2.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 4 = - 5 x$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $- 5 x = - 4$ .

$- 5 x = - 4$

Paso 2.5.2

Divide cada término en $- 5 x = - 4$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.1

Divide cada término en $- 5 x = - 4$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 4}{- 5}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 2.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 4}{- 5}$

Paso 2.5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 5}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{4}{5}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{4}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $5 x - 4 \ln (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{4}{5}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{4}{5}$ por $x$ .

$5 (\frac{4}{5}) - 4 \ln (\frac{4}{5})$

Paso 4.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$5 (\frac{4}{5}) - 4 \ln (\frac{4}{5})$

Paso 4.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$4 - 4 \ln (\frac{4}{5})$

Paso 4.1.2.2

Simplifica $- 4 \ln (\frac{4}{5})$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$4 - \ln ({(\frac{4}{5})}^{4})$

Paso 4.1.2.3

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{5}$ .

$4 - \ln (\frac{4^{4}}{5^{4}})$

Paso 4.1.2.4

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$4 - \ln (\frac{256}{5^{4}})$

Paso 4.1.2.5

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$4 - \ln (\frac{256}{625})$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$5 (0) - 4 \ln (0)$

Paso 4.2.2

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{4}{5}, 4 - \ln (\frac{256}{625}))$

Paso 5