Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 + \ln (x^{5})$ ; $x = e$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = e$ .

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Paso 1.1

Sustituye $e$ por $x$ .

$y = 2 + \ln ({(e)}^{5})$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 + \ln (e^{5})$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 2 + \ln ({(e)}^{5})$

Paso 1.2.3

Simplifica $2 + \ln ({(e)}^{5})$ .

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $5$ fuera del exponente.

$y = 2 + 5 \ln (e)$

Paso 1.2.3.1.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y = 2 + 5 \cdot 1$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$y = 2 + 5$

Paso 1.2.3.2

Suma $2$ y $5$ .

$y = 7$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = e$ y $y = 7$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + \ln (x^{5})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$

Paso 2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$0 + \frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$0 + \frac{1}{x^{5}} (5 x^{4})$

Paso 2.2.3

Combina $5$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$0 + \frac{5}{x^{5}} x^{4}$

Paso 2.2.4

Combina $\frac{5}{x^{5}}$ y $x^{4}$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{x^{5}}$

Paso 2.2.5

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{5}$ .

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Paso 2.2.5.1

Factoriza $x^{4}$ de $5 x^{4}$ .

$0 + \frac{x^{4} \cdot 5}{x^{5}}$

Paso 2.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.5.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$0 + \frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Paso 2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$0 + \frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Paso 2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{5}{x}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{5}{x}$ .

$\frac{5}{x}$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = e$ .

$\frac{5}{e}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{5}{e}$ y un punto dado $(e, 7)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (7) = \frac{5}{e} \cdot (x - (e))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 7 = \frac{5}{e} \cdot (x - e)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{5}{e} \cdot (x - e)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 7 = 0 + 0 + \frac{5}{e} \cdot (x - e)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 7 = \frac{5}{e} \cdot (x - e)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 7 = \frac{5}{e} x + \frac{5}{e} (- e)$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{5}{e}$ y $x$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + \frac{5}{e} (- e)$

Paso 3.3.1.5

Cancela el factor común de $e$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Factoriza $e$ de $- e$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + \frac{5}{e} (e \cdot - 1)$

Paso 3.3.1.5.2

Cancela el factor común.

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + \frac{5}{e} (e \cdot - 1)$

Paso 3.3.1.5.3

Reescribe la expresión.

$y - 7 = \frac{5 x}{e} + 5 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$y - 7 = \frac{5 x}{e} - 5$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{5 x}{e} - 5 + 7$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 5$ y $7$ .

$y = \frac{5 x}{e} + 2$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{5}{e} x + 2$

Paso 4