Cálculo Ejemplos

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{- x^{2}} d x$

Paso 1

Divide la integral en $0$ y escribe como una suma de límites.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{- x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Paso 2.1.4.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

Paso 2.3

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 0^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{upper} = e^{- 0}$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{upper} = e^{0}$

Paso 2.4.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

$u_{upper} = 1$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} \frac{1}{- 2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Paso 3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} - \frac{1}{2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{e^{- t^{2}}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $- \frac{1}{2} u_{2}$ en $1$ y en $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Paso 6

Sea $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Paso 6.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 6.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 6.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 6.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 6.1.3

Diferencia.

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Paso 6.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Paso 6.1.4.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Paso 6.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Paso 6.3.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Paso 6.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Paso 6.6

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{2}}}$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $- \frac{1}{2} u_{2}$ en $e^{- t^{2}}$ y en $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $e^{- t^{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 9.2.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 10

Evalúa los límites.

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Paso 10.1

Combina las fracciones mediante un denominador común.

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Paso 10.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 10.1.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 10.1.3

Factoriza $- 1$ de $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 10.1.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1 - e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 10.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 10.2

Combina las fracciones mediante un denominador común.

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Paso 10.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{2}} + 1}{2}$

Paso 10.2.2

Factoriza $- 1$ de $- e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) + 1}{2}$

Paso 10.2.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)}{2}$

Paso 10.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

Paso 10.2.5

Reescribe $- (e^{- t^{2}} - 1)$ como $- 1 (e^{- t^{2}} - 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

Paso 10.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Paso 10.3

Evalúa el límite.

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Paso 10.3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Paso 10.3.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Paso 10.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Paso 10.3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Paso 10.4

Como el exponente $- t^{2}$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- t^{2}}$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Paso 10.5

Evalúa el límite.

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Paso 10.5.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Paso 10.5.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - 1$

Paso 10.5.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 10.6

Como el exponente $- t^{2}$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- t^{2}}$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 10.7

Evalúa el límite.

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Paso 10.7.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 10.7.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.7.2.1.1

Resta $0$ de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 10.7.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 10.7.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1)$

Paso 10.7.2.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 10.7.2.1.5

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 10.7.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Paso 10.7.2.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 10.7.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 1}{2}$

Paso 10.7.2.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{2}$

Paso 10.7.2.4

Divide $0$ por $2$ .

$0$