Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x + 5}{\sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{u + 3 + 5}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Paso 2

Suma $3$ y $5$ .

$\int \frac{u + 8}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Paso 3

Sea $u = 3 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d u = 3 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ es positiva.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Simplifica $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.2

Factoriza $9$ de $9$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.3

Factoriza $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.4

Factoriza $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.6

Reescribe $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $3 \cos (t)$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\int 3 \sin (t) + 8 d t$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 8 d t$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \sin (t) d t + \int 8 d t$

Paso 7

La integral de $\sin (t)$ con respecto a $t$ es $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 8 d t$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$3 (- \cos (t) + C) + 8 t + C$

Paso 9

Simplifica.

$- 3 \cos (t) + 8 t + C$

Paso 10

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 10.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{u}{3})) + 8 \arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Paso 10.2

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{x - 3}{3})) + 8 \arcsin (\frac{x - 3}{3}) + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{1}{3} (x - 3))) + 8 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 3)) + C$