Cálculo Ejemplos

$\sin^{7} (x)$

Paso 1

Factoriza $\sin^{6} (x)$ .

$\int \sin^{6} (x) \sin (x) d x$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (3)} \sin (x) d x$

Paso 2.2

Reescribe ${\sin (x)}^{2 (3)}$ como exponenciación.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{3} \sin (x) d x$

$\int {(\sin^{2} (x))}^{3} \sin (x) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (x)$ como $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{3} \sin (x) d x$

Paso 4

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

$- \sin (x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - {(1 - u^{2})}^{3} d u$

$\int - {(1 - u^{2})}^{3} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

Paso 6

Expande ${(1 - u^{2})}^{3}$ .

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Paso 6.1

Usa el teorema del binomio.

$- \int 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Paso 6.2

Reescribe la exponenciación como un producto.

$- \int 1 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Paso 6.3

Reescribe la exponenciación como un producto.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Paso 6.4

Reescribe la exponenciación como un producto.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Paso 6.5

Reescribe la exponenciación como un producto.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) + {(- u^{2})}^{3} d u$

Paso 6.6

Reescribe la exponenciación como un producto.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} {(- u^{2})}^{2} d u$

Paso 6.7

Reescribe la exponenciación como un producto.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 6.8

Mueve $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 6.9

Mueve los paréntesis.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 6.10

Mueve los paréntesis.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 6.11

Mueve $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Paso 6.12

Mueve los paréntesis.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Paso 6.13

Mueve los paréntesis.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.14

Mueve $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.15

Multiplica $1$ por $1$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.16

Multiplica $1$ por $1$ .

$- \int 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.17

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \int 1 + 3 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.18

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \int 1 + 3 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.19

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.20

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.21

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} - 3 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.22

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.23

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.24

Suma $2$ y $2$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.25

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.26

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Paso 6.27

Factoriza el negativo.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{2} u^{2}) u^{2} d u$

Paso 6.28

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2 + 2} u^{2} d u$

Paso 6.29

Suma $2$ y $2$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4} u^{2} d u$

Paso 6.30

Factoriza el negativo.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{4} u^{2}) d u$

Paso 6.31

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4 + 2} d u$

Paso 6.32

Suma $4$ y $2$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Paso 6.33

Reordena $1$ y $- 3 u^{2}$ .

$- \int - 3 u^{2} + 1 + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Paso 6.34

Mueve $1$ .

$- \int - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 - u^{6} d u$

Paso 6.35

Reordena $- 3 u^{2}$ y $3 u^{4}$ .

$- \int 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 - u^{6} d u$

Paso 6.36

Mueve $1$ .

$- \int 3 u^{4} - 3 u^{2} - u^{6} + 1 d u$

Paso 6.37

Mueve $- 3 u^{2}$ .

$- \int 3 u^{4} - u^{6} - 3 u^{2} + 1 d u$

Paso 6.38

Reordena $3 u^{4}$ y $- u^{6}$ .

$- \int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

$- \int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$- (\int - u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- (- \int u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{6}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Paso 10

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 \int u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Paso 12

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 \int u^{2} d u + \int d u)$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

Paso 14

Aplica la regla de la constante.

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica.

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Paso 15.1.1

Combina $\frac{1}{7}$ y $u^{7}$ .

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Paso 15.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $u^{5}$ .

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Paso 15.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Paso 15.2

Simplifica.

$- (- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u) + C$

$- (- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u) + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$- (- \frac{\cos^{7} (x)}{7} + \frac{3 \cos^{5} (x)}{5} - \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$- (- \frac{1}{7} \cos^{7} (x) + \frac{3}{5} \cos^{5} (x) - \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$