Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 4}$ como ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 4$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.3

Mueve ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.11

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.12

Combina fracciones.

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Paso 1.12.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.12.2

Combina $2$ y $\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.12.3

Combina $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.16

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.16.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.16.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.16.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 1.18

Multiplica ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.19

Para escribir ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.21

Multiplica ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.21.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.21.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.21.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.21.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{1}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.22

Simplifica ${(x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.23

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x^{2} + 4$ y $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.3

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.4.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.4.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.6.1

Suma $4 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.4.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.10

Combina fracciones.

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Paso 2.10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.10.3

Mueve ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.11

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.13

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.14

Simplifica los términos.

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Paso 2.14.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} + 4}$

Paso 2.14.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} + 4}$

Paso 2.14.3

Combina $\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.14.4

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.14.5

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15

Simplifica.

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Paso 2.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 4) (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.15.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 4) (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 4) (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.2

Multiplica $- 2 x^{2} - 4$ por $\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.3

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} - 4$ .

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Paso 2.15.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.3.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (- 2)) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.4

Para escribir $4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.6

Reescribe $\frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ en forma factorizada.

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Paso 2.15.2.6.1

Factoriza $2 x$ de $4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 2) x$ .

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Paso 2.15.2.6.1.1

Factoriza $2 x$ de $4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.6.1.2

Factoriza $2 x$ de $2 (- x^{2} - 2) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.6.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.6.2

Combina exponentes.

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Paso 2.15.2.6.2.1

Multiplica ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.15.2.6.2.1.1

Mueve ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.6.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.6.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.6.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.6.2.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 4) - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.6.2.2

Simplifica $2 {(x^{2} + 4)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 4) - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.15.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 2 \cdot 4 - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.7.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 8 - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.7.3

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 8 - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.2.7.4

Resta $2$ de $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.3

Combina los términos.

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Paso 2.15.3.1

Reescribe $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$ como un producto.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}$

Paso 2.15.3.2

Multiplica $\frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4)}$

Paso 2.15.3.3

Multiplica ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 4$ sumando los exponentes.

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Paso 2.15.3.3.1

Multiplica ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 4$ .

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Paso 2.15.3.3.1.1

Eleva $x^{2} + 4$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4)}$

Paso 2.15.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 2.15.3.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 2.15.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 2.15.3.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{2 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6