Cálculo Ejemplos

$\frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$

Paso 1

Escribe $\frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$ como una función.

$f (x) = \frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 4$ y $g (x) = x^{2} - 5 x - 36$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.2

Multiplica $x^{2} - 5 x - 36$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 5 x - 36$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.2.7

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.2.9

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.2.10

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 + 0)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.2.11

Suma $2 x - 5$ y $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 + (- x - 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.1.2

Expande $(- x - 4) (2 x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x - 5) - 4 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.2.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.1.3.1.4

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 8 x - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.1.3.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 8 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.1.3.2

Resta $8 x$ de $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} - 3 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 5 x - 36 - 3 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.3

Resta $3 x$ de $- 5 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 x - 36 + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2.4

Suma $- 36$ y $20$ .

$\frac{- x^{2} - 8 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 2.1.3.3.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 (x) - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2

Reescribe $- 8$ como $- 4$ más $- 4$

$\frac{- x^{2} + (- 4 - 4) x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - 4 x - 4 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} - 4 x) - 4 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 4) + 4 (- x - 4)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 4$ .

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Paso 2.1.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.3.4.1

Factoriza $x^{2} - 5 x - 36$ con el método AC.

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Paso 2.1.3.4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 36$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 9, 4$

Paso 2.1.3.4.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{((x - 9) (x + 4))}^{2}}$

Paso 2.1.3.4.2

Aplica la regla del producto a $(x - 9) (x + 4)$ .

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.5.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.2

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (4)) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x + 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.4

Reescribe $- (x + 4)$ como $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{- 1 (x + 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.5

Eleva $x + 4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 4)}^{1} (x + 4))}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.6

Eleva $x + 4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 4)}^{1} {(x + 4)}^{1})}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{1 + 1}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.3.6

Cancela el factor común de ${(x + 4)}^{2}$ .

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Paso 2.1.3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Paso 2.1.3.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 2.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ como ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x - 9$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 9$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 9$ .

$- (- 2 {(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4

Diferencia.

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Paso 2.2.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 ({(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4.4

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ por $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + 0$

Paso 2.2.4.7.2

Suma $2 {(x - 9)}^{- 3}$ y $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 2.2.5.2

Combina $2$ y $\frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 3.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 4

No se encontraron valores que puedan hacer que la segunda derivada sea igual a $0$ .

No hay puntos de inflexión