Cálculo Ejemplos

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Paso 1

Escribe $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ como una función.

$f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 2.1.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Paso 2.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.3.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Paso 2.1.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 6 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.2.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 2.2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Paso 2.2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Paso 2.2.3.7

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ .

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$- 6 \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Paso 3.3

Factoriza $2 \sin (x)$ de $- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $2 \sin (x)$ de $- 6 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 3 - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza $2 \sin (x)$ de $- 8 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x)) = 0$

Paso 3.3.3

Factoriza $2 \sin (x)$ de $2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x))$ .

$2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

Paso 3.5

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 3.5.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 3.5.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.5.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.5.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.5.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.5.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.5.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.6

Establece $- 3 - 4 \cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $- 3 - 4 \cos (x)$ igual a $0$ .

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $- 3 - 4 \cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 3.6.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 \cos (x) = 3$

Paso 3.6.2.2

Divide cada término en $- 4 \cos (x) = 3$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Divide cada término en $- 4 \cos (x) = 3$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Paso 3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 3.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Paso 3.6.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{- 4}$

Paso 3.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{3}{4}$

Paso 3.6.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{3}{4})$

Paso 3.6.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.4.1

Evalúa $\arccos (- \frac{3}{4})$ .

$x = 2.4188584$

Paso 3.6.2.5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Paso 3.6.2.6

Resuelve $x$

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Paso 3.6.2.6.1

Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Paso 3.6.2.6.2

Simplifica $2 (3.14159265) - 2.4188584$ .

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Paso 3.6.2.6.2.1

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.4188584$

Paso 3.6.2.6.2.2

Resta $2.4188584$ de $6.2831853$ .

$x = 3.8643269$

Paso 3.6.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 3.6.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.6.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.6.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.6.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.6.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.8

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

El punto que se obtiene mediante la sustitución de en $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ es $(,)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(,)$

Paso 4.2

Sustituye $2.4188584$ en $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.4188584$ en la expresión.

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (2 (2.4188584))$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $2$ por $2.4188584$ .

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

Paso 4.2.2.2

La respuesta final es $6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$ .

$6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

Paso 4.3

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $2.4188584$ en $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ es $(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

Paso 4.4

Sustituye $3.8643269$ en $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.8643269$ en la expresión.

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (2 (3.8643269))$

Paso 4.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.4.2.1

Multiplica $2$ por $3.8643269$ .

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

Paso 4.4.2.2

La respuesta final es $6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$ .

$6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

Paso 4.5

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $3.8643269$ en $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ es $(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

Paso 4.6

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)), (3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty,) \cup (, 2.4188584) \cup (2.4188584, 3.8643269) \cup (3.8643269, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty,)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (2 (- 0.1))$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$ .

$- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Paso 6.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $1.39367782$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty,)$ .

Incremento en $(- \infty,)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(, 2.4188584)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.2094292$ en la expresión.

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2 (1.2094292))$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $1.2094292$ .

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

Paso 7.2.2

La respuesta final es $- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$ .

$- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

Paso 7.3

En $1.2094292$ , la segunda derivada es $- 8.25823739$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(, 2.4188584)$ .

Decrecimiento en $(, 2.4188584)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(2.4188584, 3.8643269)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.14159265$ en la expresión.

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (2 (3.14159265))$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Paso 8.2.2

La respuesta final es $- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$ .

$- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Paso 8.3

En $3.14159265$ , la segunda derivada es $2.44929359 E - 16$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(2.4188584, 3.8643269)$ .

Incremento en $(2.4188584, 3.8643269)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(3.8643269, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.9643269$ en la expresión.

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (2 (3.9643269))$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Multiplica $2$ por $3.9643269$ .

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

Paso 9.2.2

La respuesta final es $- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$ .

$- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

Paso 9.3

En $3.9643269$ , la segunda derivada es $0.40919742$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(3.8643269, \infty)$ .

Incremento en $(3.8643269, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 10

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ .

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

Paso 11