Cálculo Ejemplos

$\ln (x^{2} - 4 x + 29)$

Paso 1

Escribe $\ln (x^{2} - 4 x + 29)$ como una función.

$f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ .

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Paso 2.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4 x + 29$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Paso 2.1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Paso 2.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4 x + 29$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x + 29$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

Paso 2.1.2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])$

Paso 2.1.2.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])$

Paso 2.1.2.6

Como $29$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $29$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + 0)$

Paso 2.1.2.7

Suma $2 x - 4$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$

Paso 2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.3.1

Reordena los factores de $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$

Paso 2.1.3.2

Multiplica $2 x - 4$ por $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

Paso 2.1.3.3

Factoriza $2$ de $2 x - 4$ .

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Paso 2.1.3.3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

Paso 2.1.3.3.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 29}$

Paso 2.1.3.3.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 2$ y $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Diferencia.

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Paso 2.2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.3.4.2

Multiplica $x^{2} - 4 x + 29$ por $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x + 29$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.3.7

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.3.9

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.3.10

Como $29$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $29$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.3.11

Combina fracciones.

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Paso 2.2.3.11.1

Suma $2 x - 4$ y $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.3.11.2

Combina $2$ y $\frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 + (- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.3.1.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.2

Multiplica $2$ por $29$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.4

Expande $(- x + 2) (2 x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.4.3.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x - 4) + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.4.3.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.3.1.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.4.3.1.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.5.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.5.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.5.1.6

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.5.2

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.7

Simplifica.

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Paso 2.2.4.3.1.7.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.7.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.1.7.3

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.2

Resta $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 8 x + 58 + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.3

Suma $- 8 x$ y $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 58 - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3.4

Resta $16$ de $58$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.4.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} + 8 x + 42$ .

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Paso 2.2.4.4.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.4.1.2

Factoriza $2$ de $8 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.4.1.3

Factoriza $2$ de $42$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.4.1.4

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.4.1.5

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.4.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.4.4.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 21 = - 21$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 2.2.4.4.2.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.4.2.1.2

Reescribe $4$ como $- 3$ más $7$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 3 + 7) x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.4.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} - 3 x + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.4.4.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 ((- x^{2} - 3 x) + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.4.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 (x (- x - 3) - 7 (- x - 3))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.4.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 3$ .

$\frac{2 ((- x - 3) (x - 7))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.6

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.8

Reescribe $- (x + 3)$ como $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.2.4.10

Reordena los factores en $- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (x + 3) (x - 7) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 7 = 0$

Paso 3.3.2

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.3.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.3.3

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 3.3.3.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 3.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x + 3) (x - 7) = 0$ verdadera.

$x = - 3, 7$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 3$ en $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{2} - 4 \cdot - 3 + 29)$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = \ln (9 - 4 \cdot - 3 + 29)$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$f (- 3) = \ln (9 + 12 + 29)$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $9$ y $12$ .

$f (- 3) = \ln (21 + 29)$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $21$ y $29$ .

$f (- 3) = \ln (50)$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $\ln (50)$ .

$\ln (50)$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 3$ en $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ es $(- 3, \ln (50))$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 3, \ln (50))$

Paso 4.3

Sustituye $7$ en $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f (7) = \ln ({(7)}^{2} - 4 \cdot 7 + 29)$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f (7) = \ln (49 - 4 \cdot 7 + 29)$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $7$ .

$f (7) = \ln (49 - 28 + 29)$

Paso 4.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Resta $28$ de $49$ .

$f (7) = \ln (21 + 29)$

Paso 4.3.2.2.2

Suma $21$ y $29$ .

$f (7) = \ln (50)$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $\ln (50)$ .

$\ln (50)$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $7$ en $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ es $(7, \ln (50))$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(7, \ln (50))$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.1$ en la expresión.

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 ((- 3.1) + 3) ((- 3.1) - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Suma $- 3.1$ y $3$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 \cdot (- 0.1 (- 3.1 - 7))}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.2.1

Multiplica $2$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{- 0.2 (- 3.1 - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2.2

Multiplica $- 0.2$ por $- 3.1 - 7$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 + 12.4 + 29)}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Suma $9.61$ y $12.4$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

Paso 6.2.2.4

Suma $22.01$ y $29$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

Paso 6.2.2.5

Eleva $51.01$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Divide $2.02$ por $2602.0201$ .

$f'' (- 3.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $0.00077631$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.00077631$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- 0.00077631$ .

$- 0.00077631$

Paso 6.3

En $- 3.1$ , la segunda derivada es $- 0.00077631$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 3)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 7)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = - \frac{2 ((2) + 3) ((2) - 7)}{{({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Suma $2$ y $3$ .

$f'' (2) = - \frac{2 \cdot (5 (2 - 7))}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$f'' (2) = - \frac{10 (2 - 7)}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Resta $7$ de $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 8 + 29)}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Resta $8$ de $4$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(- 4 + 29)}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Suma $- 4$ y $29$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{25^{2}}$

Paso 7.2.2.5

Eleva $25$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{625}$

Paso 7.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $10$ por $- 5$ .

$f'' (2) = - \frac{- 50}{625}$

Paso 7.2.3.2

Cancela el factor común de $- 50$ y $625$ .

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Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $25$ de $- 50$ .

$f'' (2) = - \frac{25 (- 2)}{625}$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.2.2.1

Factoriza $25$ de $625$ .

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

Paso 7.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

Paso 7.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (2) = - \frac{- 2}{25}$

Paso 7.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (2) = \frac{2}{25}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $\frac{2}{25}$ .

$\frac{2}{25}$

Paso 7.3

En $2$ , la segunda derivada es $0.08$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 3, 7)$ .

Incremento en $(- 3, 7)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(7, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $7.1$ en la expresión.

$f'' (7.1) = - \frac{2 ((7.1) + 3) ((7.1) - 7)}{{({(7.1)}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Suma $7.1$ y $3$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2 \cdot (10.1 (7.1 - 7))}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Combina exponentes.

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Paso 8.2.1.2.1

Multiplica $2$ por $10.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{20.2 (7.1 - 7)}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2.2

Multiplica $20.2$ por $7.1 - 7$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Eleva $7.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Multiplica $- 4$ por $7.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 28.4 + 29)}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Resta $28.4$ de $50.41$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Suma $22.01$ y $29$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

Paso 8.2.2.5

Eleva $51.01$ a la potencia de $2$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

Paso 8.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.3.1

Divide $2.02$ por $2602.0201$ .

$f'' (7.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $0.00077631$ .

$f'' (7.1) = - 0.00077631$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 0.00077631$ .

$- 0.00077631$

Paso 8.3

En $7.1$ , la segunda derivada es $- 0.00077631$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(7, \infty)$ .

Decrecimiento en $(7, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$ .

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

Paso 10