Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + 2 \cos (x)$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.1.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$1 + 2 (- \sin (x))$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 1.1.2.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.2.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$0 - 2 \cos (x)$

Paso 1.1.2.3

Resta $2 \cos (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x)$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos (x)$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 2 \cos (x) = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 2 \cos (x) = 0$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $- 2 \cos (x) = 0$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $- 2 \cos (x) = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 2}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Divide $0$ por $- 2$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 1.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 1.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 1.2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.6

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 1.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 1.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 1.2.6.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 1.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 1.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - 2 \cos (0)$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 1$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (0) = - 2$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5