Cálculo Ejemplos

$y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$ como una función.

$f (x) = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 + x$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Multiplica $1 + x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2.10

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 (1 + x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + x^{2} + (- 2 \cdot 1 - 2 x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + x^{2} - 2 \cdot 1 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.3.1.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1 - x^{2} - 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.3.4

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.8

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.9

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.10

Reescribe $- (x^{2} + 2 x - 1)$ como $- 1 (x^{2} + 2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}] + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.2

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3

Diferencia.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.8

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 2.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.5.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2)$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.5.2.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.5.2.3

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.6.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.6.2

Cancela el factor común.

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.6.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.12.1

Multiplica $\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ por $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + 0$

Paso 2.2.12.2

Suma $- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ y $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13

Simplifica.

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Paso 2.2.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) + (- 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.13.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.13.3.1.1

Expande $(x^{2} + 1) (2 x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.13.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{x^{2} (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.13.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.13.3.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$- \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.2.13.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.2.4

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.13.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.13.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x^{1} x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{1 + 2} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.13.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.2

Resta $4 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.3

Resta $8 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 2 + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.3.4

Suma $2 x$ y $4 x$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.4

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.13.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.4.2

Factoriza $2$ de $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.4.3

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.4.4

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.4.5

Factoriza $2$ de $2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.4.6

Factoriza $2$ de $2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x)$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.4.7

Factoriza $2$ de $2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.5

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$- \frac{2 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.6

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.8

Factoriza $- 1$ de $3 x$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.9

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.10

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.11

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.12

Reescribe $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ como $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ .

$- \frac{2 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.14

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.2.13.15

Multiplica $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1.1

Divide cada término en $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.3.1.2.1.2

Divide $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ por $1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = \frac{0}{2}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Reagrupa los términos.

$x^{3} - 1 + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Paso 3.3.2.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Paso 3.3.2.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Paso 3.3.2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.4.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Paso 3.3.2.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Paso 3.3.2.5

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2} - 3 x$ .

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Paso 3.3.2.5.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) - 3 x = 0$

Paso 3.3.2.5.2

Factoriza $3 x$ de $- 3 x$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

Paso 3.3.2.5.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (- 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1) = 0$

Paso 3.3.2.6

Factoriza $x - 1$ de $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.6.1

Factoriza $x - 1$ de $3 x (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x) = 0$

Paso 3.3.2.6.2

Factoriza $x - 1$ de $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1 + 3 x) = 0$

Paso 3.3.2.7

Suma $x$ y $3 x$ .

$(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Paso 3.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Paso 3.3.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.3.5

Establece $x^{2} + 4 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.1

Establece $x^{2} + 4 x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Paso 3.3.5.2

Resuelve $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.3

Simplifica.

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Paso 3.3.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.3.1.3

Resta $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.3.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.3.5.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Paso 3.3.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.3.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.2.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 3.3.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.4.1.3

Resta $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.4.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.3.5.2.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Paso 3.3.5.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Paso 3.3.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.3.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.2.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 3.3.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.5.1.3

Resta $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.5.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.3.5.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.3.5.2.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Paso 3.3.5.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Paso 3.3.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Paso 3.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $1$ en $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

Paso 4.1.2.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (1) = \frac{2}{1 + 1^{2}}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{2}{1 + 1}$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (1) = \frac{2}{2}$

Paso 4.1.2.3

Divide $2$ por $2$ .

$f (1) = 1$

Paso 4.1.2.4

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1$ en $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ es $(1, 1)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1, 1)$

Paso 4.3

Sustituye $- 2 + \sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2 + \sqrt{3}$ en la expresión.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.3.2.1.2

Resta $2$ de $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Reescribe ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + (- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

Paso 4.3.2.2.2

Expande $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

Paso 4.3.2.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

Paso 4.3.2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.3.2.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.3.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.3.2.2.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.3.2.2.3.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Paso 4.3.2.2.3.1.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

Paso 4.3.2.2.3.1.5

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

Paso 4.3.2.2.3.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}$

Paso 4.3.2.2.3.2

Suma $4$ y $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}$

Paso 4.3.2.2.3.3

Resta $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 4 \sqrt{3}}$

Paso 4.3.2.2.4

Suma $1$ y $7$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ por $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

Paso 4.3.2.4

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.4.1

Multiplica $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ por $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{(8 - 4 \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}$

Paso 4.3.2.4.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{64 + 32 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.3.2.4.3

Simplifica.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{16}$

Paso 4.3.2.4.4

Cancela el factor común de $8 + 4 \sqrt{3}$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.4.4.1

Factoriza $4$ de $(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{16}$

Paso 4.3.2.4.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.4.4.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 (4)}$

Paso 4.3.2.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

Paso 4.3.2.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.3.2.5

Expande $(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.3.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.3.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.3.2.6

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.6.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.3.2.6.1.2

Reescribe $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.3.2.6.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.3.2.6.1.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}$

Paso 4.3.2.6.1.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4}$

Paso 4.3.2.6.1.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4}$

Paso 4.3.2.6.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Paso 4.3.2.6.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.3.2.6.3

Suma $- \sqrt{3}$ y $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.3.2.7

La respuesta final es $\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2 + \sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ es $(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$

Paso 4.5

Sustituye $- 2 - \sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2 - \sqrt{3}$ en la expresión.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.5.2.1.2

Resta $2$ de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.2.1

Reescribe ${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + (- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})}$

Paso 4.5.2.2.2

Expande $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

Paso 4.5.2.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

Paso 4.5.2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Paso 4.5.2.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.2.3.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Paso 4.5.2.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Paso 4.5.2.2.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Paso 4.5.2.2.3.1.4

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.2.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.5.2.2.3.1.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.5.2.2.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.5.2.2.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.5.2.2.3.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 4.5.2.2.3.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.5.2.2.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.2.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.5.2.2.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.5.2.2.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.5.2.2.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.2.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.5.2.2.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Paso 4.5.2.2.3.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Paso 4.5.2.2.3.2

Suma $4$ y $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

Paso 4.5.2.2.3.3

Suma $2 \sqrt{3}$ y $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 4 \sqrt{3}}$

Paso 4.5.2.2.4

Suma $1$ y $7$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

Paso 4.5.2.3

Multiplica $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ por $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

Paso 4.5.2.4

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.4.1

Multiplica $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ por $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{(8 + 4 \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}$

Paso 4.5.2.4.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{64 - 32 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.5.2.4.3

Simplifica.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{16}$

Paso 4.5.2.4.4

Cancela el factor común de $8 - 4 \sqrt{3}$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.4.4.1

Factoriza $4$ de $(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{16}$

Paso 4.5.2.4.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.4.4.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 (4)}$

Paso 4.5.2.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

Paso 4.5.2.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.5.2.5

Expande $(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.5.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.5.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.5.2.6

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.6.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.5.2.6.1.2

Multiplica $- 1 (- \sqrt{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.6.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.5.2.6.1.2.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.5.2.6.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.5.2.6.1.4

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.6.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.5.2.6.1.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.5.2.6.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.5.2.6.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.5.2.6.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Paso 4.5.2.6.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Paso 4.5.2.6.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.6.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Paso 4.5.2.6.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Paso 4.5.2.6.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 4.5.2.6.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.6.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 4.5.2.6.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Paso 4.5.2.6.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Paso 4.5.2.6.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.5.2.6.3

Resta $2 \sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.5.2.7

La respuesta final es $\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2 - \sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ es $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

Paso 4.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(1, 1), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 2 - \sqrt{3}) \cup (- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3}) \cup (- 2 + \sqrt{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.8320508$ en la expresión.

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 ({(- 3.8320508)}^{3} + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 3.8320508$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 3.8320508$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 \cdot 14.68461339 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $3$ por $14.68461339$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 3.8320508$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.5

Suma $- 56.2721846$ y $44.05384017$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 12.21834443 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.6

Suma $- 12.21834443$ y $11.49615242$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 0.722192 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.7

Resta $1$ de $- 0.722192$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Eleva $- 3.8320508$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{(14.68461339 + 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $14.68461339$ y $1$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{15.68461339}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $15.68461339$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{3858.526212}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 1.722192$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{- 3.44438401}{3858.526212}$

Paso 6.2.3.2

Divide $- 3.44438401$ por $3858.526212$ .

$f'' (- 3.8320508) = - 0.00089266$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- 0.00089266$ .

$- 0.00089266$

Paso 6.3

En $- 3.8320508$ , la segunda derivada es $- 0.00089266$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = \frac{2 ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.5

Suma $- 8$ y $12$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (4 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.6

Suma $4$ y $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (10 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.7

Resta $1$ de $10$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{(4 + 1)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $4$ y $1$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{5^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{125}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Multiplica $2$ por $9$ .

$f'' (- 2) = \frac{18}{125}$

Paso 7.2.3.2

Divide $18$ por $125$ .

$f'' (- 2) = 0.144$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $0.144$ .

$0.144$

Paso 7.3

En $- 2$ , la segunda derivada es $0.144$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ .

Incremento en $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.3660254$ en la expresión.

$f'' (0.3660254) = \frac{2 ({(0.3660254)}^{3} + 3 {(0.3660254)}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({(0.3660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $0.3660254$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot {0.3660254}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 8.2.1.2

Eleva $0.3660254$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot 0.13397459 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $3$ por $0.13397459$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $0.3660254$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 8.2.1.5

Suma $0.0490381$ y $0.40192378$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.45096189 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 8.2.1.6

Resta $1.09807621$ de $0.45096189$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (- 0.64711431 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 8.2.1.7

Resta $1$ de $- 0.64711431$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Eleva $0.3660254$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{(0.13397459 + 1)}^{3}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $0.13397459$ y $1$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{1.13397459}^{3}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $1.13397459$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{1.4581761}$

Paso 8.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 1.64711431$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{- 3.29422863}{1.4581761}$

Paso 8.2.3.2

Divide $- 3.29422863$ por $1.4581761$ .

$f'' (0.3660254) = - 2.2591432$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 2.2591432$ .

$- 2.2591432$

Paso 8.3

En $0.3660254$ , la segunda derivada es $- 2.2591432$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ .

Decrecimiento en $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.1$ en la expresión.

$f'' (1.1) = \frac{2 ({(1.1)}^{3} + 3 {(1.1)}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Eleva $1.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot {1.1}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.1.2

Eleva $1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot 1.21 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.1.3

Multiplica $3$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $1.1$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.1.5

Suma $1.331$ y $3.63$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (4.961 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.1.6

Resta $3.3$ de $4.961$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.661 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.1.7

Resta $1$ de $1.661$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Eleva $1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{(1.21 + 1)}^{3}}$

Paso 9.2.2.2

Suma $1.21$ y $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{2.21}^{3}}$

Paso 9.2.2.3

Eleva $2.21$ a la potencia de $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{10.793861}$

Paso 9.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.3.1

Multiplica $2$ por $0.661$ .

$f'' (1.1) = \frac{1.322}{10.793861}$

Paso 9.2.3.2

Divide $1.322$ por $10.793861$ .

$f'' (1.1) = 0.12247702$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $0.12247702$ .

$0.12247702$

Paso 9.3

En $1.1$ , la segunda derivada es $0.12247702$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 10

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$ .

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$

Paso 11