Cálculo Ejemplos

$\frac{9 x^{8}}{8 y^{7}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 9 x^{8}$ y $g (x) = 8 y^{7}$ .

$\frac{8 y^{7} \frac{d}{d x} [9 x^{8}] - 1 \cdot 9 x^{8} \frac{d}{d x} [8 y^{7}]}{{(8 y^{7})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{8}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{8 y^{7} (9 \frac{d}{d x} [x^{8}]) - 1 \cdot 9 x^{8} \frac{d}{d x} [8 y^{7}]}{{(8 y^{7})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$\frac{8 y^{7} (9 (8 x^{7})) - 1 \cdot 9 x^{8} \frac{d}{d x} [8 y^{7}]}{{(8 y^{7})}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica $8$ por $9$ .

$\frac{8 y^{7} (72 x^{7}) - 1 \cdot 9 x^{8} \frac{d}{d x} [8 y^{7}]}{{(8 y^{7})}^{2}}$

Paso 2.4

Como $8 y^{7}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 y^{7}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{8 y^{7} (72 x^{7}) - 1 \cdot 9 x^{8} \cdot 0}{{(8 y^{7})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $8 y^{7}$ .

$\frac{8 y^{7} (72 x^{7}) - 1 \cdot 9 x^{8} \cdot 0}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{8 \cdot 72 y^{7} x^{7} - 1 \cdot 9 x^{8} \cdot 0}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $8$ por $72$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7} - 1 \cdot 9 x^{8} \cdot 0}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7} - 9 x^{8} \cdot 0}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $- 9 x^{8} \cdot 0$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Multiplica $0$ por $- 9$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7} + 0 x^{8}}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Paso 3.2.1.4.2

Multiplica $0$ por $x^{8}$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7} + 0}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Paso 3.2.2

Suma $576 y^{7} x^{7}$ y $0$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7}}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7}}{64 {(y^{7})}^{2}}$

Paso 3.3.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{7})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7}}{64 y^{7 \cdot 2}}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7}}{64 y^{14}}$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $576$ y $64$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $64$ de $576 y^{7} x^{7}$ .

$\frac{64 (9 y^{7} x^{7})}{64 y^{14}}$

Paso 3.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.2.1

Factoriza $64$ de $64 y^{14}$ .

$\frac{64 (9 y^{7} x^{7})}{64 (y^{14})}$

Paso 3.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{64 (9 y^{7} x^{7})}{64 y^{14}}$

Paso 3.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9 y^{7} x^{7}}{y^{14}}$

Paso 3.3.4

Cancela el factor común de $y^{7}$ y $y^{14}$ .

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Paso 3.3.4.1

Factoriza $y^{7}$ de $9 y^{7} x^{7}$ .

$\frac{y^{7} (9 x^{7})}{y^{14}}$

Paso 3.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.4.2.1

Factoriza $y^{7}$ de $y^{14}$ .

$\frac{y^{7} (9 x^{7})}{y^{7} y^{7}}$

Paso 3.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{7} (9 x^{7})}{y^{7} y^{7}}$

Paso 3.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9 x^{7}}{y^{7}}$