Cálculo Ejemplos

$\frac{6 x^{5}}{5 y^{4}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = 6 x^{5}$ y $g (y) = 5 y^{4}$ .

$\frac{5 y^{4} \frac{d}{d y} [6 x^{5}] - 1 \cdot 6 x^{5} \frac{d}{d y} [5 y^{4}]}{{(5 y^{4})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $6 x^{5}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $6 x^{5}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{5 y^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 6 x^{5} \frac{d}{d y} [5 y^{4}]}{{(5 y^{4})}^{2}}$

Paso 2.2

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5 y^{4}$ con respecto a $y$ es $5 \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{5 y^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 6 x^{5} (5 \frac{d}{d y} [y^{4}])}{{(5 y^{4})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{5 y^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 6 x^{5} (5 (4 y^{3}))}{{(5 y^{4})}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{5 y^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 6 x^{5} (20 y^{3})}{{(5 y^{4})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $5 y^{4}$ .

$\frac{5 y^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 6 x^{5} (20 y^{3})}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $5 y^{4} \cdot 0$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Multiplica $0$ por $5$ .

$\frac{0 y^{4} - 1 \cdot 6 x^{5} (20 y^{3})}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

Paso 3.2.1.1.2

Multiplica $0$ por $y^{4}$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 6 x^{5} (20 y^{3})}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{0 - 1 \cdot 6 \cdot 20 x^{5} y^{3}}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 1 \cdot 6 \cdot 20$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{0 - 6 \cdot 20 x^{5} y^{3}}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

Paso 3.2.1.3.2

Multiplica $- 6$ por $20$ .

$\frac{0 - 120 x^{5} y^{3}}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

Paso 3.2.2

Resta $120 x^{5} y^{3}$ de $0$ .

$\frac{- 120 x^{5} y^{3}}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 120 x^{5} y^{3}}{25 {(y^{4})}^{2}}$

Paso 3.3.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{4})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 120 x^{5} y^{3}}{25 y^{4 \cdot 2}}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{- 120 x^{5} y^{3}}{25 y^{8}}$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $- 120$ y $25$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $5$ de $- 120 x^{5} y^{3}$ .

$\frac{5 (- 24 x^{5} y^{3})}{25 y^{8}}$

Paso 3.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.2.1

Factoriza $5$ de $25 y^{8}$ .

$\frac{5 (- 24 x^{5} y^{3})}{5 (5 y^{8})}$

Paso 3.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (- 24 x^{5} y^{3})}{5 (5 y^{8})}$

Paso 3.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 24 x^{5} y^{3}}{5 y^{8}}$

Paso 3.3.4

Cancela el factor común de $y^{3}$ y $y^{8}$ .

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Paso 3.3.4.1

Factoriza $y^{3}$ de $- 24 x^{5} y^{3}$ .

$\frac{y^{3} (- 24 x^{5})}{5 y^{8}}$

Paso 3.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.4.2.1

Factoriza $y^{3}$ de $5 y^{8}$ .

$\frac{y^{3} (- 24 x^{5})}{y^{3} (5 y^{5})}$

Paso 3.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{3} (- 24 x^{5})}{y^{3} (5 y^{5})}$

Paso 3.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 24 x^{5}}{5 y^{5}}$

Paso 3.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{24 x^{5}}{5 y^{5}}$